Sannolikheten att antingen A eller B inträffar

Du har hittat P(A eller B). Facit frågar efter P(antingen A eller B). Du har räknat fram sannolikheten att A, B eller A och B händer. Frågan är hur stor sannolikheten är att A händer, eller att B händer. I hur många av utfallen du nämnt inträffar både A och B?

Både A och B inträffar i 2/6 alltså 1/3. Det är nämligen det som är fråga b) bestäm P(Både A och B). Den klarade jag fast facit säger att svaret på fråga A, den jag postade, ska vara 1/2. 

Uppgifter som denna illustreras bra av ett så kallat venndiagram. Cirkel A är att händelse A i träffar alltså 1/2. Cirkel B är att händelse B inträffar alltså 2/3. Området i mitten som ingår i båda cirklarna är att båda händelserna inträffar. Uppgiften söker efter de områden som jag har streckat, alltså att antingen A eller B inträffar. Vi kan se av bilden att detta ges av att lägga ihop cirkel A och cirkel B men att subtrahera bort området i mitten där båda inträffar. 

Du bör alltså ta P(A)+P(B)

och sedan beräkna P(A och B) för att ta bort den.

Det borde stå någonstans att A och B är oberoende också.

Jag förstod till slut! Tack så mycket 😊

Kommentar till Jonto:

"Uppgiften söker efter de områden som jag har streckat, alltså att antingen A eller B inträffar. Vi kan se av bilden att detta ges av att lägga ihop cirkel A och cirkel B men att subtrahera bort området i mitten där båda inträffar. 

Du bör alltså ta P(A)+P(B)

och sedan beräkna P(A och B) för att ta bort den."

Men området i mitten  P(A och B) = P(AB)  är redan dubbelräknat eftersom det ingår i både  P(A)  och P(B). Vi måste därför dra bort det två gånger.  Drar vi bara bort det en gång får vi   P(A) + P(B) – P(AB)  som är lika med  P(A eller B) = P(AB') + P(AB) + P(BA'). Drar vi bort det en gång till får vi P(AB') + P(BA') som är den sökta sannolikheten.

AB' är det streckade området i A-cirkeln:    A men inte B = AB'
BA' är det streckade området i B-cirkeln:    B men inte A = BA'
AB är det vita området där cirklarna överlappar varandra  = både A och B
A'B' är området utanför båda cirklarna:  icke-A  och  icke-B = varken A eller B
Alla fyra är disjunkta och tillsammans uppfyller de utfallsrummet.

Med tärningsexemplet blir det
A = {2, 4, 6}                 A' = {1, 3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}       B' = {1}

AB' = {nollmängden} som ger P(AB') = 0
AB =  {2, 4, 6} = A
BA' =  {3, 5} som ger P(BA') = 1/3

P(antingen A eller B) = P(AB' och BA') = P(AB') + P(BA') = 1/3

Stämmer det med facit?

Facit säger att svaret ska vara 1/2. Jag fick fram det genom att jag provade mig fram med hjälp av tärningsexemplet och att ta bort de som ingick i båda.

Jag tänkte: P(A) = 2,4,6 på en tärning. (P)B = 3,4,5,6 så tog jag bort 4 och 6 för att de fanns på båda så kvar blev 2, 3,5, alltså 3/6 =1/2. 

Jag löste det inte med hjälp av någon formel men det borde väl finnas.

Kul att du använde dej av tärningsexemplet fast jag såg att du hade skrivit (P)B = 2,3,4,5,6. Jag satte P(B) =högre än två. 

Malin12345 skrev:

Facit säger att svaret ska vara 1/2. Jag fick fram det genom att jag provade mig fram med hjälp av tärningsexemplet och att ta bort de som ingick i båda.

Jag tänkte: P(A) = 2,4,6 på en tärning. (P)B = 3,4,5,6 så tog jag bort 4 och 6 för att de fanns på båda så kvar blev 2, 3,5, alltså 3/6 =1/2. 

Jag löste det inte med hjälp av någon formel men det borde väl finnas.

Kul att du använde dej av tärningsexemplet fast jag såg att du hade skrivit (P)B = 2,3,4,5,6. Jag satte P(B) =högre än två. 

Hur går det om du låter A = 2,3,4 och B = 2,3,4,5?

Laguna skrev:

Malin12345 skrev:

Facit säger att svaret ska vara 1/2. Jag fick fram det genom att jag provade mig fram med hjälp av tärningsexemplet och att ta bort de som ingick i båda.

Jag tänkte: P(A) = 2,4,6 på en tärning. (P)B = 3,4,5,6 så tog jag bort 4 och 6 för att de fanns på båda så kvar blev 2, 3,5, alltså 3/6 =1/2. 

Jag löste det inte med hjälp av någon formel men det borde väl finnas.

Kul att du använde dej av tärningsexemplet fast jag såg att du hade skrivit (P)B = 2,3,4,5,6. Jag satte P(B) =högre än två. 

Hur går det om du låter A = 2,3,4 och B = 2,3,4,5?

Eller A=1,2,3    B=3,4,5,6 ?

Jag tycker att uppgiften måste innehålla mer information än "Två händelser kan inträffa". Det måste finnas något sammanhang där man kan lista ut vad P(A och B) blir?

Svar till Laguna och Johan F: då går det skit om man byter ut siffrorna! Tack till alla som engagerar sig, behöver verkligen hjälp med detta! 

Såhär ser frågan ut i boken, 4A:

Jag håller med.
Det enklaste vore om Lagunas förslag skulle gälla, dvs att  A  och  B  är oberoende.
Då blir ju    P(AB) = P(A)·P(B) = 1/2 · 2/3 = 1/3
och   P(A) + P(B) – 2·P(AB) = 1/2 + 2/3 – 2·1/3 = 1/2  som det skulle vara.

Står det inte något om oberoende i problemtexten?

_____________________
Malin:  Det var ju förargligt att jag skrev fel på B.

Så här skulle det ha varit:
A = {2, 4, 6}                 A' = {1, 3, 5}
B = {3, 4, 5, 6}            B' = {1, 2}

AB' = {2} som ger  P(AB') = 1/6
AB =  {4, 6} som ger  P(AB) = 1/3
BA' =  {3, 5} som ger P(BA') = 1/3

P(antingen A eller B) = P(AB' och BA') = P(AB') + P(BA') = 1/2
eller   P(A) + P(B) – 2·P(AB) = 1/2 + 2/3 – 2·1/3 = 1/2

Arktos skrev:

Kommentar till Jonto:

"Uppgiften söker efter de områden som jag har streckat, alltså att antingen A eller B inträffar. Vi kan se av bilden att detta ges av att lägga ihop cirkel A och cirkel B men att subtrahera bort området i mitten där båda inträffar. 

Du bör alltså ta P(A)+P(B)

och sedan beräkna P(A och B) för att ta bort den."

 

Men området i mitten  P(A och B) = P(AB)  är redan dubbelräknat eftersom det ingår i både  P(A)  och P(B). Vi måste därför dra bort det två gånger.  Drar vi bara bort det en gång får vi   P(A) + P(B) – P(AB)  som är lika med  P(A eller B) = P(AB') + P(AB) + P(BA'). Drar vi bort det en gång till får vi P(AB') + P(BA') som är den sökta sannolikheten.

AB' är det streckade området i A-cirkeln:    A men inte B = AB'
BA' är det streckade området i B-cirkeln:    B men inte A = BA'
AB är det vita området där cirklarna överlappar varandra  = både A och B
A'B' är området utanför båda cirklarna:  icke-A  och  icke-B = varken A eller B
Alla fyra är disjunkta och tillsammans uppfyller de utfallsrummet.

Med tärningsexemplet blir det
A = {2, 4, 6}                 A' = {1, 3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6}       B' = {1}

AB' = {nollmängden} som ger P(AB') = 0
AB =  {2, 4, 6} = A
BA' =  {3, 5} som ger P(BA') = 1/3

P(antingen A eller B) = P(AB' och BA') = P(AB') + P(BA') = 1/3

Stämmer det med facit?

Ja precis, man måste räkna bort det två gånger. Det var kanske lite otydligt.

Uppgiften är som tidigare nämnts också dumt formulerad då det inte framgår om de är beroende eller oberoende.

Jag tycker det var mycket bra att försöka förstå frågan genom att hitta på exempel och räkna på dem. Tyvärr råkade det bli exempel där A och B inte är oberoende, och det måste nog bli så när det gäller bara en tärning, även om resultatet kan bli det önskade av en (o)lycklig slump.

För att vara säker på att A och B är oberoende kan man låta A handla om en tärning och B om en annan tärning.

Om A och B  är oberoende är sannolikheten för händelser som följer varandra produkten.

Antingen A eller B är alltså summan av de två utfallen $P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)$

Jag har förstått hur man kan räkna ut det med hjälp av cirklarna! Tack så mycket! 

Det står inget om oberoende i texten. 

Jroth, när jag räknade på ditt sätt så fick jag 2/3? Har jag räknar fel där? 

1/2 ×2/3 + 1/2 ×2/3 = 2/6 +2/6 =2/3? 

A och B måste vara oberoende, för annars går uppgiften inte att lösa. Jag tycker att om man förkastar uppgiften med den motiveringen, så borde man få full poäng, men det kanske inte läraren tycker.

Malin12345 skrev:

Jroth, när jag räknade på ditt sätt så fick jag 2/3? Har jag räknar fel där? 

1/2 ×2/3 + 1/2 ×2/3 = 2/6 +2/6 =2/3? 

Sannolikheten för att B inträffar är $P(B)=\frac{2}{3}$. Komplementhändelsen B INTE är $P(\overline{B})=\frac{1}{3}$

$P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

Tack så mycket för hjälpen! Bra tips att räkna med komplementhändelsen 😊

Malin:
Ett par kommentarer till. Du skrev:

“Jag tänkte: P(A) = 2,4,6 på en tärning. (P)B = 3,4,5,6
så tog jag bort 4 och 6 för att de fanns på båda så kvar blev 2, 3,5, alltså 3/6 =1/2.“

Mycket bra tänkt! 

I ditt exempel är A = {2,4,6}  och  B = {3,4,5,6}  och därmed  AB = {4,6}.
Här är därför P(A) + P(B) – 2·P(AB) = 1/2 + 2/3 – 2/3 = 1/2.
Men generellt är det tyvärr inte mycket vi kan säga om  AB,
om det enda vi vet är värdet på P(A) och  P(B).

Om t ex A och B är disjunkta så är AB en omöjlig händelse och P(AB)=0.

Om A och B är oberoende så är P(AB) = 1/2·2/3 = 1/3.  I ditt exempel är A och B uppenbarligen inte oberoende, trots att P(AB) = P(A)·P(B), så omvändningen gäller inte. 

Definitionen av oberoende kan skrivas så här:

              A och B är oberoende [om och endast om]  P(AB) = P(A)·P(B)
                   A och B är oberoende         ⇔⇔                P(AB) = P(A)·P(B)

A och B i exemplet är alltså oberoende händelser.  
Även omvändningen gäller, dvs om  P(AB) = P(A)·P(B), så är A och B oberoende. 

Malin har alltså konstruerat två oberoende händelser och då fått samma svar som facit. Svaret i facit gäller därför endast när A och B är oberoende, dvs när P(AB) = P(A)·P(B) = 1/3.  Om händelserna inte är oberoende finns det ett helt intervall av möjliga svar.

Slutligen
Att facit ger svaret 1/2 tycker jag tyder på att man förutsatt att händelserna är oberoende. Det kanske står i texten någonstans före alla uppgifterna?  Jag blir också nyfiken på hur uppgift 6 ser ut, den som skymtar längst ner i din bild (men det får bli en ny tråd).

Inlägg redigerat på användarens begäran. /Smutstvätt, moderator 

Hej! 

Tack för din kommentar. Det står ingenstans att de skulle vara oberoende. Jag har faktiskt inte hört det ordet förut förrän det dök upp här i chatten. Jag antar att det betyder att man inte vet vad A och B är förutom att de är just 1/2 och 2/3? 

Isåfall får vi väl utgå från att de är oberoende eftersom det inte står något annat. 

Jag vet tyvärr heller inte vad ordet disjunkta betyder? 

Kul att du var intresserad av fråga 6, jag kan posta den i en annan tråd 😊

Begreppen kanske inte ingår kursen?  Men jo, det verkar de göra:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/statistik-och-sannolikhet/sannolikhet
Se också den här tråden:
https://www.pluggakuten.se/trad/oberoende-och-disjunkt
De måste behandlas i din bok om den är för Matte 1.

Kom gärna igen med fråga 6 i en ny tråd, om du har frågor på den.

Rättelse och komplement
Jag skrev ovan:

“Om A och B är oberoende så är P(AB) = 1/2 · 2/3 = 1/3. I ditt exempel är A och B uppenbarligen inte oberoende, trots att P(AB) = P(A)·P(B), så omvändningen gäller inte.”

Det var förhastat. Jag tittade bara på händelserna i exemplet och tyckte de såg beroende ut. Äsch! Jag borde ju först ha kollat definitionen på oberoende. Den kan skrivas så här:

              A och B är oberoende [om och endast om]  P(AB) = P(A)·P(B)
                   A och B är oberoende         $\iff$                P(AB) = P(A)·P(B)

A och B i exemplet är alltså oberoende händelser.  
Även omvändningen gäller, dvs om  P(AB) = P(A)·P(B), så är A och B oberoende. 

Malin har alltså konstruerat två oberoende händelser och då fått samma svar som facit. Svaret i facit gäller därför endast när A och B är oberoende, dvs när P(AB) = P(A)·P(B) = 1/3.  Om händelserna inte är oberoende finns det ett helt intervall av möjliga svar.

[Jag ska be en moderator att rensa i mitt tidigare inlägg]

Fixat! /Smutstvätt, moderator