Oberoende och disjunkt
"Kan två disjunkta händelser vardera med positiva sannolikheter vara oberoende?"
Två händelser är ju oberoende om, och endast om: , medans snittet mellan A och B vid disjunkta mängder.
Så rimligtvis borde väl inte två händelser kunna vara både disjunkt och oberoende?
Jag håller med dig.
Det går inte att tänka sig något specialfall? Känns som en sätta dit-fråga
Du är helt rätt på det!
Om och är oberoende så gäller .
Om och är disjunkta så gäller .
Så om och är både oberoende och disjunkta så gäller . Detta ger att eller , vilket motsäger antagandet om positiva sannolikheter.
Detta var alltså en sätta dit-fråga av andra graden - en som lurar dig att tro att det är något lurigt med den.
Knepigt!
En smula mer resonemangmässigt kan man kanske säga så här:
* Om A och B är disjunkta, så kan de inte inträffa samtidigt.
* Om en av dem har inträffat, så vet vi därför att den andra inte har inträffat.
De är alltså i högsta grad beroende!
A och B oberoende
Om en av dem har inträffat, så ger oss det ingen ny information om den andra.
P(B | A) = P(B) och P(A | B) = P(A)
A och B disjunkta
Om en av dem har inträffat, så vet vi att den andra inte har inträffat.
P(B) ≠ P(B | A) (som är lika med noll) och P(A) ≠ P(A | B) (som är lika med noll)
Då kan de inte vara oberoende.