MaFy-provet 2024 – Lösningsförslag

Uppgift 2: 

Om $a$ och $b$ är reella tal så är villkoret 􏰃"minst ett av talen a och b är skilt från 0"􏰄 ekvivalent med

(a) $ab\ne 0$

(b) $a^2+b^2\ne 0$

(c) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ne 0$

(d) inget av (a)-(c)

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 3:

Om x är ett reellt tal och $\sqrt{x^2+2x+1}-\sqrt{x^2-2x+1}=-2$, så gäller 

(a) $x\geq1$

(b) $-1\leq x\leq1$

(c) $x\leq-1$

(d) inget av (a)-(c).

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 4:  

Olikheten ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<4$ är ekvivalent med olikheten

(a) $x<0$

(b) $x<2$

(c) $x<-2$

(d) inget av (a)-(c).

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 5:

Alla lösningar till olikheten $\frac x{2x-1}\geq\frac1x$ ges av

(a) alla negativa x och $x\geq1$

(b) alla reella x

(c) alla negativa x och $\frac{1}{2}$

(d) inget av (a)-(c)

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 6:

Om $x⊞y=\left|x\right|-\left|\left|x+y\right|-\left|y\right|\right|$ för alla reella tal x och y, så gäller för alla reella x och y att 

(a) $x⊞y=y⊞x$

(b) $\left(2x\right)⊞\left(-x\right)=2x$

(c) $x⊞y\ge 0$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 7:

Antalet heltalslösningar till olikheten $bx-17−2x^2>0$, där $b$ är ett reellt tal, är

(a) 0

(b) ändligt, skilt från 0

(c) oändligt

(d) kan ej avgöras

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 8:  

Givet är ekvationen $az^2 + bz + c = 0$, där $abc\neq0$. Två av de tre koe􏰂cienterna $a$, $b$, $c$ är reella och en är icke-reell. Då kan man dra slutsatsen att ekvationen inte är ekvivalent med någon ekvation $Az^2 + Bz + C = 0$, där

(a) alla tre koe􏰂cienterna är reella

(b) alla tre koe􏰂cienterna är icke-reella

(c) en koe􏰂cient är reell och två av koe􏰂cienterna är icke-reella

(d) inget av (a)-(c), den kan vara ekvivalent med ekvationer av alla tre typerna.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 9: 

Givet är ekvationen $az^2 + bz + c = 0$, där $abc\neq0$. Två av de tre koefficienterna $a$, $b$, $c$ är reella och en är icke-reell. Då kan man dra slutsatsen att

(a) en av ekvationens lösningar är reell och den andra icke-reell

(b) minst en av ekvationens lösningar är icke-reell

(c) minst en av ekvationens lösningar är reell

(d) inget av (a)-(c)

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 10: 

Priset för en förpackning av en viss produkt har ökat med 10%, medan innehållets vikt har minskat med 10%. Kilopriset för produkten har då ökat med

(a) mindre än 20%

(b) exakt 20%

(c) mer än 20%

(d) det går inte att avgöra.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 11: 

Antalet reella lösningar till ekvationen $9e^{2x} + ae^x − 1 = 0$ för $a > 0$ är

(a) 1

(b) 2

(c) kan ej avgöras

(d) inget av (a)-(c).

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 12:

För alla positiva reella tal x och y gäller att

(a) $\ln{x}+\ln{y} =\ln{x}\cdot\ln{y}$

(b) $\ln{x}+\ln{y} =\ln{(x+y)}$

(c) $\ln{x} + \ln{y} = \ln{(xy)}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 13:

För alla positiva reella tal x och p gäller att

(a) $p\ln{x}=\ln{x^p}$

(b) $p\ln{x}=(\ln{x})^p$

(c) $p\ln{x}=\ln{(x+e^p)}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 14:

Om $\sin\alpha>0$ och $\tan\alpha=p$, så gäller att $\cos\alpha$ är lika med

(a) $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

(b) $\frac{\left|p\right|}{\sqrt{1+p^2}}$

(c) $\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 15:

Om $\cos\alpha>0$ och $\tan\alpha=p$, så gäller att $\sin\alpha$ är lika med

(a) $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

(b) $\frac{\left|p\right|}{\sqrt{1+p^2}}$

(c) $\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 16:

Om $\alpha\in\lbrack0,2\mathrm\pi\rbrack$, så gäller

(a) $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}$

(b) $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}$

(c) $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}2}$

(d) ingen av formlerna gäller generellt.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 17:

Ekvationen $x^2 + bx + c = 0$, där koefficienterna $b$ och $c$ är reella tal, har lösningarna $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{23}}2$. Man kan då dra slutsatsen att

(a) både b och c är heltal

(b) minst ett av talen b och c inte är ett heltal

(c) varken b eller c är heltal

(d) inget av (a)-(c).

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 18:

En triangel har sidlängderna $\sqrt{11}$, $\sqrt{39}$ och $\sqrt{92}$. Den minsta vinkeln i triangeln är då

(a) 30°

(b) skild från 30°

(c) det går inte att avgöra

(d) det finns ingen sådan triangel

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 19:

En triangel har sidlängderna $\sqrt{13}$, $\sqrt{41}$, $\sqrt{52}$ längdenheter. Den minsta vinkeln i triangeln är då

(a) 30°

(b) skild från 30°

(c) det går inte att avgöra

(d) det finns ingen sådan triangel

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 20: 

Givet är en tetraeder ABCD, sådan att |AB| = |AC| = |AD| = 2 längdenheter, och de tre plana vinklarna vid hörnet A är räta. Tetraederns höjd från hörnet A mot sidan BCD har i samma längdenheter längden

(a) $\frac{\sqrt6}2$

(b) annat tal

(c) det går inte att avgöra

(d) det finns ingen sådan tetraeder.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 21:

Beräkna$\frac{{\displaystyle\frac47}-{\displaystyle\frac32}}{{\displaystyle\frac25}+{\displaystyle\frac14}}$Ange svaret på formen $\frac{p}{q}$, där $p$, $q$ är heltal och bråket $\frac{p}{q}$ är maximalt förkortat.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 22:

Bestäm alla reella tal $a$, för vilka ekvationen $x^2 − 2ax + (a^2 + 2) = 0$ har två icke-reella lösningar som befinner sig på avstånd 5 från talet 0. Ange det minsta talet $a$ med den egenskapen.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 23:

Givet funktionen $f(x)=\ln\frac{1-x^2}{1+x^2}$, beräkna $f'(x)$ och ange $f'\left(-\frac12\right)$.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 24:

Beräkna $\int_0^2\left(e^{-2x}-\frac2{3-x}+\cos\frac x3\right)\operatorname dx$.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 25:

En geometrisk talföljd har kvoten q. Bestäm de värden q kan ha givet att det andra elementet i följden är 1 och summan av de fyra första elementen i följden är 4. Ange summan av dessa värden.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 26:

Lös ekvationen

$\frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}=4\sin2x$.

Ange summan av de två minsta positiva lösningarna.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 27:

Lös olikheten

${(2x-3)}^3{(x+7)}^7{(x+5)}^4<0$

Ange summan av olikhetens heltalslösningar.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 28:

I triangeln ABC gäller att $|AB| = 7$ l.e., $|AC| = |BC| = 6$ l.e. Beräkna och ange längden av höjden från hörnet $A$ mot sidan $BC$.

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 29:

Två cirklar tangerar den räta linjen t och ligger på samma sida om den. Den ena cirkeln har medelpunkt $O_1$ och radie $R$, den andra har medelpunkt $O_2$ och radie $r$, där $r < R$. Avståndet mellan de två medelpunkterna är $|O_1O_2| = d > R + r$. Linjen t skär linjen som binder samman cirklarnas medelpunkter i punkten $P$. Beräkna och ange avståndet $|PO_2$|. (Alla längder och avstånd mäts i samma längdenhet.)

Länk till lösningsförslag.

Uppgift 30:

Romben ABCD har sidlängd $a$ (längdenheter). Summan av dess diagonallängder är $|AC| + |BD| = 2d$ (längdenheter). Beräkna och ange rombens area.

Länk till lösningsförslag.