MaFy-provet 2024 – uppgift 9

Lösningsförslag till fråga 9 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Givet är ekvationen $az^2 + bz + c = 0$, där $abc\neq0$. Två av de tre koefficienterna $a$, $b$, $c$ är reella och en är icke-reell. Då kan man dra slutsatsen att

(a) en av ekvationens lösningar är reell och den andra icke-reell

(b) minst en av ekvationens lösningar är icke-reell

(c) minst en av ekvationens lösningar är reell

(d) inget av (a)-(c)

Insättning i PQ-formeln ger rötterna: 

$z=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$

Vad händer nu om a, b respektive c är icke-reell?

• a är icke-reell: Om a är icke-reellt kommer $-\frac{b}{2a}$ att vara icke-reellt. Även diskriminanten kommer att vara icke-reell eller noll. Om rotuttrycket efter förenkling är lika med $-\frac{b}{2a}$ eller $+\frac{b}{2a}$, kommer en rot att vara icke-reell och en noll (reellt). Annars är båda lösningar icke-reella. Därmed kan alternativ (a) strykas. 
• b är icke-reell: Om b är icke-reell kan samma resonemang appliceras som för om a är icke-reellt. 
• c är icke-reell: Om c är icke-reellt kommer $-\frac{b}{2a}$ vara reellt, men diskriminanten icke-reell. Då blir båda lösningar icke-reella. 

Det är alltså möjligt att få en reell rot och en icke-reell, och det är möjligt att få två icke-reella rötter, beroende på vilken av koefficienterna som är icke-reell, och vilka värden koefficienterna har. Detta stämmer överens med alternativ (b). 

Svar: (b), minst en av ekvationens lösningar är icke-reell.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.