En spiral ritas med hjelp av halvcirklar

Jag såg den frågan här för ett litet tag sedan, men  nu hittar jag den inte.

Längden är väl: 

$L=1\mathrm{\pi r}+2\mathrm{\pi r}+...+\mathrm{n\pi r}$

Vi bryter ut:

$L=\mathrm{\pi r}(1+2+...+\mathrm{n})$

Den där summan ser välbekant ut.

Vad tror du om det och kommer du vidare?

Här är den: https://www.pluggakuten.se/trad/rakna-ut-total-kurvlangd

men ni har kanske kommit lika långt här.

Laguna skrev:

Här är den: https://www.pluggakuten.se/trad/rakna-ut-total-kurvlangd

men ni har kanske kommit lika långt här.

Ungefär ja, men tack ändå.

sictransit skrev:

Längden är väl: 

$L=1\mathrm{\pi r}+2\mathrm{\pi r}+...+\mathrm{n\pi r}$

Vi bryter ut:

$L=\mathrm{\pi r}(1+2+...+\mathrm{n})$

Den där summan ser välbekant ut.

Vad tror du om det och kommer du vidare?

ska det stå k + 1 i parantesen och så ska n gå mot oändligheten? Eller är det inga gränsvärden som ska blandas in?

swaggerdabber44 skrev:

sictransit skrev:

Längden är väl: 

$L=1\mathrm{\pi r}+2\mathrm{\pi r}+...+\mathrm{n\pi r}$

Vi bryter ut:

$L=\mathrm{\pi r}(1+2+...+\mathrm{n})$

Den där summan ser välbekant ut.

Vad tror du om det och kommer du vidare?

ska det stå k + 1 i parantesen och så ska n gå mot oändligheten? Eller är det inga gränsvärden som ska blandas in?

Frågan gäller ju längden för n halvcirklar, inte oändligt många.

Summan blir: $\frac{n(n+1)}{2}$

sictransit skrev:

swaggerdabber44 skrev:

Visa föregående citat

sictransit skrev:

Längden är väl: 

$L=1\mathrm{\pi r}+2\mathrm{\pi r}+...+\mathrm{n\pi r}$

Vi bryter ut:

$L=\mathrm{\pi r}(1+2+...+\mathrm{n})$

Den där summan ser välbekant ut.

Vad tror du om det och kommer du vidare?

ska det stå k + 1 i parantesen och så ska n gå mot oändligheten? Eller är det inga gränsvärden som ska blandas in?

Frågan gäller ju längden för n halvcirklar, inte oändligt många.

Summan blir: $\frac{n(n+1)}{2}$

Jaha det förenklar det! Hur kom du fram till den summan? 

swaggerdabber44 skrev:

Jaha det förenklar det! Hur kom du fram till den summan? 

Den är rätt allmänt känt, som pythagoras typ. Det sägs att Gauss briljerade när han som skolpojke blixtsnabbt summerade ihop de 1000 (?) första heltalen: Aritmetisk följd – Wikipedia

Hur som helst är det inte svårt att inse att summan av en aritmetisk talföljd är:

antalet tal * medelvärdet av det första och det sista

1+2+3+4+5 = 5 * (1+5)/2 = 15

sictransit skrev:

swaggerdabber44 skrev:

Jaha det förenklar det! Hur kom du fram till den summan? 

Den är rätt allmänt känt, som pythagoras typ. Det sägs att Gauss briljerade när han som skolpojke blixtsnabbt summerade ihop de 1000 (?) första heltalen: Aritmetisk följd – Wikipedia

Hur som helst är det inte svårt att inse att summan av en aritmetisk talföljd är:

antalet tal * medelvärdet av det första och det sista

1+2+3+4+5 = 5 * (1+5)/2 = 15

Jag insåg nu att det var en aritmetisk talföljd! Ibland är det för lätt för att det ska bli uppenbart....Tack!