Räkna ut total kurvlängd

Hej, jag sitter fast på en uppgift där man ska räkna ut den totala kurvlängden för spiral som är uppbyggd av n halvcirklar. Jag infogar bilden och min lösning nedan. 

Jag får svaret till $(2^n-1)r\mathrm{\pi }$ och i facit står det att svaret ska bli $\mathrm{\pi }\frac{(\mathrm{n}+1)\mathrm{n}}{2}\mathrm{r}$.

Det jag har gjort är att först beräkna kurvlängden för figur 1 som jag betecknar $n_1$. Därefter gör jag samma sak för $n_2$och  $n_3$. Min formel funkar för $n_1,n_2 och n_3$vilket inte facits formel gör, så förmodligen har jag fått fram fel kurvlängd men jag ser inte hur. Kan någon hjälpa mig? Tack på förhand!