Pluggakuten.se / Forum / Gymnasiematematik / [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Mountain Dew · 2017-02-04 09:16

Hej!

Skulle behöva hjälp med att lösa denna uppgiften.

Visa att $LaTeX ekvation$ är delbart med 3 för alla heltal a

För att lösa detta funderade jag på om modulo räkning skulle fungera och skrev därför upp vad jag ville bevisa.

$LaTeX ekvation$

Om talet är delbart med 3 borde även detta vara kongurent med 0 då det inte lämnar någon rest. Jag har dock ingen aning om hur jag ska fortsätta då jag inte har någon bestämd bas.

Modulo räkning är kanske helt fel väg att gå för att lösa denna uppgiften.

SeriousSquid · 2017-02-04 09:48

Det finns tre möjligheter
1. a har rest 0 vid division med 3 (a är delbart med 3)
2. a har rest 1 vid division med 3
3. a har rest 2 vid division med 3

Fundera på vad som händer i dessa tre fall.

Alternativt kan du betrakta Fermats lilla sats eftersom 3 är ett primtal.

Henrik E · 2017-02-04 09:55

Det tredje fallet skrivs lämpligen
3. a har rest -1 vid division med 3

Mountain Dew · 2017-02-05 08:33

SeriousSquid skrev:
Det finns tre möjligheter
1. a har rest 0 vid division med 3 (a är delbart med 3)
2. a har rest 1 vid division med 3
3. a har rest 2 vid division med 3

Fundera på vad som händer i dessa tre fall.

Alternativt kan du betrakta Fermats lilla sats eftersom 3 är ett primtal.

Är inte riktigt med på hur du menar. Om jag får en rest som skiljer sig från 0 är talet inte jämt delbart med tre. Men vad innebär detta för beviset. Finns det något algebraiskt sätt jag kan visa att resten alltid blir 0 oavsett värde på basen a?

albiki · 2017-02-05 10:56

Hej!
Du har ett heltal ( $LaTeX ekvation$ ) och studerar differensen

$LaTeX ekvation$

Det gäller att $LaTeX ekvation$ där k=0,1 eller 2 och $LaTeX ekvation$ är ett heltal.
Enligt Binomialsatsen är

$LaTeX ekvation$

Fall 1. Om $LaTeX ekvation$ så är $LaTeX ekvation$ delbart med 3 och då är $LaTeX ekvation$ delbart med 3.
Fall 2. Om $LaTeX ekvation$ så är $LaTeX ekvation$ delbart med 3, och då är $LaTeX ekvation$ delbart med 3.
Fall 3. Vad kan man säga när k=2?

SvanteR · 2017-02-05 11:08

Tre saker som du behöver till ditt bevis:

1. Tänk på att när du ska jobba med delbarhet kan du dela upp problemet, och göra ett bevis för varje restklass. Det är det som SeriousSquid och andra är ute efter.

Det betyder att du först gör beviset för alla tal som är delbara med 3, dvs $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Sedan gör du beviset för alla tal som har resten 1 när man delar dem med 3, dvs $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Sist gör du beviset för alla tal som har resten 2 när man delar dem med 3, dvs $LaTeX ekvation$ (modulo 3).

När du har gjort det har du täckt upp alla alternativ, och beviset är klart.

2. Använd omskrivningen

$LaTeX ekvation$

3. Använd räkneregeln för potenser när man gör kongruensräkning. Den formuleras lite olika i olika böcker men jag tänker på denna:

Om $LaTeX ekvation$ (modulo n)

så är $LaTeX ekvation$ (modulo n)

Det betyder till exempel att eftersom $LaTeX ekvation$ (modulo 3) så är

$LaTeX ekvation$ (modulo 3)

Men $LaTeX ekvation$ , så $LaTeX ekvation$

Detta gäller naturligtvis alla heltal.

Nu kan man göra så här:

$LaTeX ekvation$

Om $LaTeX ekvation$ (modulo 3) måste produkten ovan vara delbar med 3 (ser du varför?).

Om $LaTeX ekvation$ (modulo 3) så är $LaTeX ekvation$ (modulo 3) enligt punkt 3 ovan. Men då har $LaTeX ekvation$ resten 1, och $LaTeX ekvation$ resten 0, och alltså är produkten ovan delbar med 3.

Om $LaTeX ekvation$ (modulo 3) så är $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Men $LaTeX ekvation$ (modulo 3) och därför är även $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Men man kan skriva $LaTeX ekvation$ , och då ser man att $LaTeX ekvation$ , och sedan man fortsätta som för $LaTeX ekvation$ (modulo 3)

Räcker detta för dig? Fråga annars igen!

Senast redigerat av SvanteR (2017-02-06 02:31)

Mountain Dew · 2017-02-10 14:37

SvanteR skrev:
Tre saker som du behöver till ditt bevis:

1. Tänk på att när du ska jobba med delbarhet kan du dela upp problemet, och göra ett bevis för varje restklass. Det är det som SeriousSquid och andra är ute efter.

Det betyder att du först gör beviset för alla tal som är delbara med 3, dvs $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Sedan gör du beviset för alla tal som har resten 1 när man delar dem med 3, dvs $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Sist gör du beviset för alla tal som har resten 2 när man delar dem med 3, dvs $LaTeX ekvation$ (modulo 3).

När du har gjort det har du täckt upp alla alternativ, och beviset är klart.

2. Använd omskrivningen

$LaTeX ekvation$

3. Använd räkneregeln för potenser när man gör kongruensräkning. Den formuleras lite olika i olika böcker men jag tänker på denna:

Om $LaTeX ekvation$ (modulo n)

så är $LaTeX ekvation$ (modulo n)

Det betyder till exempel att eftersom $LaTeX ekvation$ (modulo 3) så är

$LaTeX ekvation$ (modulo 3)

Men $LaTeX ekvation$ , så $LaTeX ekvation$

Detta gäller naturligtvis alla heltal.

Nu kan man göra så här:

$LaTeX ekvation$

Om $LaTeX ekvation$ (modulo 3) måste produkten ovan vara delbar med 3 (ser du varför?).

Om $LaTeX ekvation$ (modulo 3) så är $LaTeX ekvation$ (modulo 3) enligt punkt 3 ovan. Men då har $LaTeX ekvation$ resten 1, och $LaTeX ekvation$ resten 0, och alltså är produkten ovan delbar med 3.

Om $LaTeX ekvation$ (modulo 3) så är $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Men $LaTeX ekvation$ (modulo 3) och därför är även $LaTeX ekvation$ (modulo 3). Men man kan skriva $LaTeX ekvation$ , och då ser man att $LaTeX ekvation$ , och sedan man fortsätta som för $LaTeX ekvation$ (modulo 3)

Räcker detta för dig? Fråga annars igen!

Efter problem med det nya forumet väljer jag att besvara tråden här istället och jag kan bara säga Wow vilket svar!

Är nu helt med på resonemanget nu och fick lite av ett aha moment där

Att man kan använda resterna för modulo 3 och testa delbarheten genom att stoppa in resterna som baser i uttrycket var något jag inte såg tidigare. 0^100-0^10 är självklart kongurent med 0 mod 3.
1^100 - 1^10 är också självklart kongurent med 0 mod 3.
Med basen 2 använder jag mig av omskrvningssett och potenslagen för kongurens beräkning för att lösa ut vad resten blir?

Har jag tolkat ditt svar korrekt att det är så här jag ska tänka?

Henrik E · 2017-02-12 08:59

Att a=2+(multipel av 3) är detsamma som att a=-1+(multipel av 3) och (-1)^100 är förstås detsamma som 1^100.

Meddelande

[MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

[MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

SeriousSquid skrev:

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

SvanteR skrev:

Re: [MA 5/E] Bevisa att påståendet är delbart med 3 för alla heltal

Sidfot