Z-transformering - beräkningssteg!

Hallå!

Sysslar med denna uppgift:

http://imgur.com/a/7GJNQ

och här är min lösning och uppgifts-lösningen:

http://imgur.com/a/eGjiw

1.

Som ni ser så får jag fram uttrycket inom blåa rutan, vilket de också fått MEN efter det så förstår jag inte riktigt hur de gör. De verkar multiplicera (?) med en faktor z i uttrycket där innan de kör partialbråksuppdelning. Om jag ser det rätt så har de tagit 1/z*z där de tagit 1/z faktorn på andra sidan (?) eller hur har de gjort egentligen? Jag menar när jag körde på i min egna beräkning så hittade jag ingen z-transform för uttrycket som jag tog fram (när jag struntade i att multiplicera med en faktor z). Så där antog jag att något gått snett, men finns det någon "tumregel" för att veta NÄR man ska multiplicera med en z-faktor (i syfte att hitta transformen).

2.

Hur får de fram uttrycket här? Är det så att de fått fram 1/3-1/2+1/6 genom att helt enkelt stoppa in n=0 överallt där vi har n? för det är ju det vi fått, och det köper jag. Dock för värden större eller lika med 1 så får de fram -1/2 + 1/6*3^n = (3^(n-1) -1)/2 men jag förstår inte riktigt hur de får fram uttrycket (3^(n-1) -1)/2. Är det någon form av faktorisering eller liknande? Jag kommer bara såhär långt själv (vilket är fel, men jag har problem med att förstår hur man faktoriserar något med samma bas):

http://imgur.com/a/3P0Ow

Uppskattar verkligen hjälpen. Tentan är snart och vill verkligen förstå denna moment då det känns som det är blockstenen som hindrar mig från att förstå den här typen av uppgifter fullt ut.

/Shawn