Z-transformen kausalitet och stabilitet
För att ett system ska vara stabilt måste polerna vara innanför enhetscirkeln (strikt innanför), och för att det ska vara kaualt måste ROC:en vara utanför den yttersta polen. Men, om vi har fler än en pol (som inte är från samma avstånd från origo) så får vi flera ROC:ar, och för en ROC kan vi ha kausalitet, och för en annan inte. För att det hela systemet då ska vara kausalt, räcker det med att en ROC är kausal, eller måste alla ROCar vara kausala?
Ta exempel B nedan, vi har tre ROC:ar varav en uppfyller kausalitet, är då hela systemet kausalt eller inte? jag motiverar mer i min lösningsgång sist i bild.
Då du inte utgår från någon potens-/Laurentserie, så kan man inte direkt prata om seriens konvergensområde. Det finns dock ett ganska enkelt kriterium för kausalitet:
- Om lim|z|→∞H(z) existerar ändligt, så är impulssvaret (och därmed systemet) kausalt. (Theorem 19.3 i Beerends et al.: Fourier and Laplace Transforms)
Jag skulle nog tro att uppgiftens fråga inte handlar om kausalitet, utan man bara ska undersöka stabilitet.
Här kommer ett kort tillägg med exempel som visar att man inte kan veta någonting om konvergensområdet ifall man inte har ursprungsserien till hands:
Både den kausala talföljden an={1då n>00då n≤0 och den icke-kausala talföljden bn={-1då n≤00då n>0 har z-transformen lika med 1z-1 fast med olika konvergensområden.
Den kausala talföljden ger en serie med konvergensområdet utanför enhetscirkeln, medan den icke-kausala talföljden ger en serie med konvergensområdet innanför enhetscirkeln.
Med andra ord är det omöjligt att avgöra kausalitet genom att titta på polerna av H(z) då det inte behöver framgå vad serien haft för konvergensområde.
LuMa07 skrev:Här kommer ett kort tillägg med exempel som visar att man inte kan veta någonting om konvergensområdet ifall man inte har ursprungsserien till hands:
Både den kausala talföljden an={1då n>00då n≤0 och den icke-kausala talföljden bn={-1då n≤00då n>0 har z-transformen lika med 1z-1 fast med olika konvergensområden.
Den kausala talföljden ger en serie med konvergensområdet utanför enhetscirkeln, medan den icke-kausala talföljden ger en serie med konvergensområdet innanför enhetscirkeln.
Med andra ord är det omöjligt att avgöra kausalitet genom att titta på polerna av H(z) då det inte behöver framgå vad serien haft för konvergensområde.
Ja det låter logiskt, så här skriver de i facit. Så du hade rätt att de räcker att kolla polerna.
LuMa07 skrev:Då du inte utgår från någon potens-/Laurentserie, så kan man inte direkt prata om seriens konvergensområde. Det finns dock ett ganska enkelt kriterium för kausalitet:
- Om lim|z|→∞H(z) existerar ändligt, så är impulssvaret (och därmed systemet) kausalt. (Theorem 19.3 i Beerends et al.: Fourier and Laplace Transforms)
Jag skulle nog tro att uppgiftens fråga inte handlar om kausalitet, utan man bara ska undersöka stabilitet.
Den formeln har jag inte sett förut, vi har dock denna (visar dock stabilitet), men kräver att vi tar fram Z invers först, vilket också beror på ROC:en.
Stabilt om ∑∞k=-∞|h[k]|<∞
