Z-transform av en andra grads differensekvation

Hej!

Jag har försökt lösa en differensekvation med z-transform, en testfråga från boken "transformteori för ingengörer". Vid lösningarna har jag försökt vara så försiktig som möjligt men kan inte komma fram till samma svar som facit.
Frågan: $y (n + 2) = y (n + 1) - \frac{1}{4} y (n)$ där y(0)=0 & y(1)=1
min lösning:

$z^{2} Y (z) - z^{2} y (0) - z y (1) = z Y (z) - z y (0) - \frac{1}{4} Y (z) i n s ä t t n i g s g e r : z^{2} Y (z) - z = z Y (z) - \frac{1}{4} Y (z) Y (z) = \frac{z}{z^{2} - z + \frac{1}{4}} s k r i v o m m e d d e s s n o l l s t ä l l e n : Y (z) = \frac{z}{z - \frac{1}{2}} i n v e r s t r a n s f o r m e r i n g : y (n) = \frac{1}{2^{n}}$

FACIT:
$y (n) = \frac{n}{2^{n - 1}}$

Sådana fel sker ofta för mig vid Z-transform, nära men aldrig som facit, ibland en konstant multiplikation också. Vart går det fel?

Jag tror du borde ta den inversa transformen av $\frac{z}{{(z - \frac{1}{2})}^{2}}$ , inte $\frac{z}{z - \frac{1}{2}}$ .

Gustor skrev:
Jag tror du borde ta den inversa transformen av $\frac{z}{{(z - \frac{1}{2})}^{2}}$ , inte $\frac{z}{z - \frac{1}{2}}$ .

Jaha, insåg inte ens det. Tänkte bara direkt på pq-formeln när jag såg nämnaren. Så det innebär att man inte alltid kommer att ersätta med nollställen utan istället måste använda kvadratkompletering?

Karzan skrev:
Gustor skrev:
Jag tror du borde ta den inversa transformen av $\frac{z}{{(z - \frac{1}{2})}^{2}}$ , inte $\frac{z}{z - \frac{1}{2}}$ .

Jaha, insåg inte ens det. Tänkte bara direkt på pq-formeln när jag såg nämnaren. Så det innebär att man inte alltid kommer att ersätta med nollställen utan istället måste använda kvadratkompletering?

Nu är jag ingen expert på detta, men att skriva om $Y (z) = \frac{z}{z^{2} - z + \frac{1}{4}}$ som $Y (z) = \frac{z}{z - \frac{1}{2}}$ är ju inte korrekt, eftersom $z^{2} - z + \frac{1}{4} = {(z - \frac{1}{2})}^{2}$ .

Svara

Visa senaste svar