z^n=w ekvationer

$i^2$ är lika med minus ett, inte plus ett som du räknat

Fredrikottenfelt skrev:

$z^3={\left(1+i\right)}^2$

Jag får följande lösning:

Hittar ej var jag gör fel, men antar att det har att göra med kvadraten på något vis?

...

Du skriver först ekvationen $z^3=(1+i)^2$ men du börjar sedan istället att lösa ekvationen $z^3=(1-i)^2$ (vilket facit antyder är rätt).

AlvinB skrev:

$i^2$ är lika med minus ett, inte plus ett som du räknat 

 Men det är ju ett minus framför, vilket borde bli $-\left(i^2\right) = -(-1)=1$ ?

Edit: Det ska vara minus emellan, ej ett plus. Så $(1-i{)}^2$.

Yngve skrev:

Fredrikottenfelt skrev:

$z^3={\left(1+i\right)}^2$

Jag får följande lösning:

Hittar ej var jag gör fel, men antar att det har att göra med kvadraten på något vis?

...

Du skriver först ekvationen $z^3=(1+i)^2$ men du börjar sedan istället att lösa ekvationen $z^3=(1-i)^2$ (vilket facit antyder är rätt).

 Slarvigt av mig, men det ska vara minus emellan. Tittade en gång till på talet.

$z^3 = (1-i{)}^2= 1+i^2-2i = -2i$

Vi ska alltså lösa 

$z^3=-2i$

Skriv om på polär form och använd de Moivres (arg -2i = 3pi/2, belopp -2i = 2)

$z^3= 2\left(\cos \right(\frac{3\pi }{2}+2n\pi ) +i\sin (\frac{3\pi }{2}+2npi) )$

kan du slutföra på egen hand?

Ture skrev:

$z^3 = (1-i{)}^2= 1+i^2-2i = -2i$

Vi ska alltså lösa 

$z^3=-2i$

Skriv om på polär form och använd de Moivres (arg -2i = 3pi/2, belopp -2i = 2)

$z^3= 2\left(\cos \right(\frac{3\pi }{2}+2n\pi ) +i\sin (\frac{3\pi }{2}+2npi) )$

kan du slutföra på egen hand?

 Jaha, det ska alltså inte bli z= 2 - 2i?

Ja, men då hade jag ju gjort rätt, fast med fel uttryck :)

Tack för er hjälp! Det värmer.

Hej!

Ekvationen $z^3 = (1-i)^2$ löses genom att skriva de komplexa talen på polär form.

Steg 1. Det komplexa talet $1-i$ uttrycks på polär form

    $1-i = \sqrt{2}e^{iv + i2\pi n}$

där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal och $\tan v = \frac{-1}{1}$. Därefter skrivs

    $(1-i)^2 = (\sqrt{2})^2e^{i2v+i4\pi n} = 2e^{i2v+i4\pi n}.$

Steg 2. Det okända komplexa talet $z$ uttrycks på polär form.

    $z = re^{i\theta}.$

Steg 3. Ekvationen uttrycks på polär form.

    $\displaystyle r^3e^{i3\theta} = 2e^{i2v+i4\pi n} \Leftrightarrow r = 2^{1/3} \text{ och } \theta = \frac{2v}{3} + \frac{4\pi n}{3}.$

Tangensvärdet $\tan v = -1$ ger argumentet $v = -\frac{\pi}{4}$ så att de tre möjliga argumenten $\theta$ blir

    $\displaystyle\theta = -\frac{3\pi}{2} \text{ och } \theta = -\frac{3\pi}{2}+\frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \text{ och } \theta = -\frac{3\pi}{2}+\frac{8\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

Fredrikottenfelt skrev:

 Jaha, det ska alltså inte bli z= 2 - 2i?

Du slarvar när du skriver.

Jag antar att din fråga skulle vara om det inte skulle bli $z^3=2-2i$.

Svaret är nej eftersom $i^2=-1$, vilket betyder att

$(1-i)^2=1^2-2i+i^2=1-2i-1=-2i$.