z^4=-16

Börja med att markera talet -16 i det komplexa talplanet. Vilket argument har det?

Och du menar väl att den andra faktorn skall vara z+1?

Jag har kommit fram till (z⁴+16)(z-1)=0.

Jasså, jag har kommit fram till (z⁴ + 16)(z + 1) = 0

Sedan i polära koordinater

$z^4=16\angle ({180}^{°}+n{360}^{°})$

När man multiplicerar två imaginära tal multiplicerar man beloppen och summerar vinklarna

binary skrev:

Hej.

Jag har fastnat mitt i en uppgift och jag vet inte hur jag ska gå vidare.

"Bestäm alla lösningar, reella såväl som komplexa, till ekvationen

$z^5+z^4+16z+16=0$".

Jag har kommit fram till ($z^4+16$)(z-1)=0.

Sedan fastnar jag när jag ska räkna ut $z^4=-16$.
Vet att jag ska använda De moivres formel, men än hur jag läser och kollar så förstår jag inte riktigt hur jag ska gå tillväga. Främst blir jag förvirrad av vad som är vad i formeln och hur det blir när det är -16.

Edit, smaragdalena har redan svarat...

Ja, självklart menar jag z+1, gick lite snabbt där när jag skrev. 

-16 i komplexa talplanet blir -pi/2. 

Argumentet för -16 är pi!

Alltså kan du skriva

z⁴= 16(cos(pi +2npi) +isin(pi + 2npi))

Vad händer om du drar fjärderoten ur bägge led?

Edit: Skrev fel argument..

binary skrev:

Ja, självklart menar jag z+1, gick lite snabbt där när jag skrev. 

-16 i komplexa talplanet blir -pi/2. 

Nej, det är -16i som har det argumentet.

Om du inte vill använda de Moivre kan du göra substitutionen t=x² och använda pq-formeln istället.

Aha, okej, så -16 ska jag kolla på reella axeln. Jag tänkte att eftersom att talet är $z^4=-16$så skulle jag kolla på imaginära axeln eftersom roten ur ett negativt tal blir i. 

"$z^4$= 16(cos(pi +2npi) +isin(pi + 2npi))
Vad händer om du drar fjärderoten ur bägge led?"
 

$\sqrt[4]{z^4}$=z, $\sqrt[4]{16}$=2, dvs z=2.

Är 2⁴=-16?

Nej, men eftersom det nu stod z^4= 16(cos(pi +2npi) +isin(pi + 2npi)) så trodde jag att man kunde ta fjärderoten ur. Annars är vi väl tillbaka på ruta ett igen?

binary skrev:

Aha, okej, så -16 ska jag kolla på reella axeln. Jag tänkte att eftersom att talet är $z^4=-16$så skulle jag kolla på imaginära axeln eftersom roten ur ett negativt tal blir i. 

 

"$z^4$= 16(cos(pi +2npi) +isin(pi + 2npi))
Vad händer om du drar fjärderoten ur bägge led?"
 

$\sqrt[4]{z^4}$=z, $\sqrt[4]{16}$=2, dvs z=2.

beloppet av z blir 2, så långt är det rätt, men vart tog sin och cos vägen?

Vad händer med argumentet för ett komplext tal när du drar roten ur det?

Eller tänk så här: När du multiplicerar två komplexa tal så multiplicerar du beloppen och adderar argumenten för att få produkten. Här går du baklänges så att säga.

Jag hänger inte riktigt med på det sista du skriver. Om jag fått fram 2, vad blir nästa steg? 

binary skrev:

Nej, men eftersom det nu stod z^4= 16(cos(pi +2npi) +isin(pi + 2npi)) så trodde jag att man kunde ta fjärderoten ur. Annars är vi väl tillbaka på ruta ett igen?

När du beräknar fjärderoten ut ett komplext tal så drar du fjärde roten ur absolutbeloppet - så det nya absolutbeloppet är 2 - och delar argumentet med 4. Vilket är det nya argumentet? Sedan ligger de fyra lösningarna till fjärdegradsekvationen jämnt förselade på en cirkel med centrum i origo. Rita!

jag föreslår att du läser på här https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

binary skrev:

Aha, okej, så -16 ska jag kolla på reella axeln.

[...]

För att kunna markera det komplexa talet -16 i det komplexa talplanet kanske det är enklare om du tänker det i rektangulär form, dvs som -16+0*i.

Då är det tydligt att realdelen är -16 och att imaginärdelen är 0.

Affe Jkpg skrev:

Jag har kommit fram till (z⁴+16)(z-1)=0.

Jasså, jag har kommit fram till (z⁴ + 16)(z + 1) = 0

Sedan i polära koordinater

$z^4=16\angle ({180}^{°}+n{360}^{°})$

När man multiplicerar två imaginära tal multiplicerar man beloppen och summerar vinklarna

$z={16}^{\frac{1}{4}}\angle (\frac{{180}^{°}}{4}+n\frac{{360}^{°}}{4})$….$0\le n\le 3$

Rita gärna för att enkelt hitta dom fyra lösningarna i det komplexa planet