z^3=4i vilken metod ska man använda till ekvationen? (Matematik/Matte 4)

Inte säker, men oftast så brukar man skriva z på dess standardform, dvs a+bi och sedan expandera/förenkla. Sedan så sätter man upp ett ekvationssystem där de reella delarna på VL ska vara lika med de reella delarna på HL och vice versa för de imaginära, så borde man kunna lösa det.

Polär form och de Moivres formel är nog bästa, dvs enklaste, sättet

Ture skrev:
Polär form och de Moivres formel är nog bästa, dvs enklaste, sättet

Hur fortsätter jag?

Nej du blandar ihop det.

Sätt $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$

Då är $z^3=r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$

Det ger dig ekvationen

$r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))=4i$

Skriv nu högerledet, dvs $4i$ , som ett komplext tal på polär form och lös sedan ekvationen.

Visa hur långt du kommer.

Yngve skrev:
Nej du blandar ihop det.

Sätt $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$

Då är $z^3=r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$

Det ger dig ekvationen

$r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))=4i$

Skriv nu högerledet, dvs $4i$ , som ett komplext tal på polär form och lös sedan ekvationen.

Visa hur långt du kommer.

ska jag multiplicera in 4 med cos3v+sin3v?

Vilket värde har argumentet för 4i? Dela det med 3 så har du argumentet för ett av värdena på z.

Smaragdalena skrev:
Vilket värde har argumentet för 4i? Dela det med 3 så har du argumentet för ett av värdena på z.

argumenten hur tar jag reda på den genom absolutbellopet eller?

Smaragdalena skrev:
Vilket värde har argumentet för 4i? Dela det med 3 så har du argumentet för ett av värdena på z.

det blir ju 4/0 men då är de odefinerat?

mattegeni1 skrev:

ska jag multiplicera in 4 med cos3v+sin3v?

Nej du ska skriva talet $4i$ på polär form.

Du behöver då ta reda på beloppet och argumentet för 4i.

Det gör du enklast genom att markera talet $4i$ i det komplexa talplanet. Då framgår det omedelbart vilket belopp och argument talet har.

Läs om komplexa tal på polär form här.

Fråga om allt som känns oklart.

kolla vi har a+bi och argumentet är b/a och vi har a+bi som är 0+4i eller hur om vi ska ha b/a får vi 4/0 ?

Markera talet $4i$ som en punkt i det komplexa talplanet. Rita en pil från origo till punkten.

Visa din bild.

Hur stor är vinkeln mellan den positiva reella axeln och pilen?

Detta var faktiskt en ganska intressant uppgift, löste den precis själv. Som sagt, skriv både VL och HL i polär form och jämför beloppet samt vinkeln (argumentet), vad är vinkeln av det komplexa talet 4i? Sätt 3v lika med den vinkeln $+ 2 πn$ där n är ett heltal. Och sedan så borde du kunna få fram alla 3 lösningar.

Om du vill så kan man också lösa detta genom att skriva den på exponentialform istället för polär, det kanske till och med är ännu enklare, dvs $z = r e^{i v} .$