ytor

Låt $τ$ vara den sfäriska kalotten $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 z \geq 1$

a) Ge en parameterframställning av $τ$

Jag vet att den ska bli

x=rsin $φ$ cos $θ$

y= $r \sin φ \sin θ$

z= $r \cos φ$

som tillslut blir $r (θ, φ) = (2 \sin θ \cos φ, 2 \sin θ \sin φ, 2 \cos θ)$

men följdfrågan är att förklara varför parametriseringsfunktionen ser ut som den gör i termer av de sfäriska koordinaterna, samt på något sätt indikera att det är en vektor för att inte förväxla parametriseringsfunktionen med sfäriska koordinaten

b) Bestäm en normalvektor till $τ$

Här fick jag svaret:

$\frac{d τ}{d θ} \times \frac{d τ}{d φ} = τ^{2} \sin (θ) (\sin θ \cos φ, \sin θ \sin φ, \cos θ$

Dock ska svaret ges utan den radiella koordinaten $τ$

c) Beräkna arean av $τ$

jag satte $\iint_{E} r^{2} \sin θ e θ e φ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 3} r^{2} \sin θ d θ d φ = 8 π - {[\cos θ]}^{π / 3}_{0} = 4 π$

Dock är jag inte med på hur man ska förklara varför arean ges an den givna dubbelintegralen.

d) Beräkna arean av $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}, z \geq h, 0 \leq h \leq R$

Där fick jag $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a r c \cos (h / R)} R^{2} \sin (θ) d θ d φ) 2 π R^{2} {[- \cos θ)]}_{0}^{a r c \cos (h / R)} = 2 π R (R - h)$

Här har jag fastnat på följdfrågan:

motivera varför integralen ser ut som den gör

Den parameterframställning du först beskriver är vanliga sfäriska koordinater för ett klot med medelbunkt i origo. r=2 i ditt fall. Men din sfär har inte centrum i origo utan 2 steg upp på z-axeln, det ser du om du kvadratkompletterar z^2-4x.
Den nya parameterframställningen blir alltså likadan för x och y men z=2+2 cos fi. Där du har skrivit r(theta,fi) bör det i stället stå (x,y,z) men ofta används ett fett r för att beteckna (x,y,z).

Jag misstänker att du har skrivit av fel och att det efter 4z ska stå z>=1. Eftersom det bara är en kalott ska inte theta gå hela vägen från nordpol till sydpol utan bara 0<=theta<=2pi/3 (om jag gissat rätt om felskrivning).

ja det ska vara mellanrum där mellan 4 och z men jag verkar inte kunna redigera det i efterhand, så $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ samt z $\geq 1$ ska det vara.

Aha, det ska vara 4 och inte 4z i högerledet. Ja, då är det ju ett klot med centrum i origo alla fall, så då kan du glömma det där med z-2 som jag skrev.

okej, men vad ska man då svara på frågan om varför parametriseringsfunktionen ser ut som den gör i termer av de sfäriska koordinaterna?

Hur ser parameterframställningen ut för en halvsfär?

Vad skiljer din kalott från en halvsfär?

är inte halvsfären $z = (1 - x^{2} - y^{2})^{1 / 2}$

Som parametrar på jorden brukar man ju ta två vinklar, longitud och latitud.

I din definition av koordinaterna verkar du använda $\varphi$ som vinkel mellan z-axel (polvinkel eller kolatitud) och ortsvektor. Går du på en teknisk högskola eller använder en formelsamling avsedd för fysiker / teknologer t.ex. Beta är det snarare

Det spelar naturligtvis ingen roll, under förutsättning att du är konsekvent. Tyvärr verkar du senare använda $\theta$ som polvinkel. För beräkning av normalen kan du förövrigt ha en viss hjälp av ett annat av mina inlägg om en mycket likartad sfärisk kalott:

https://www.pluggakuten.se/trad/sfarisk-kalott/?order=all#post-42c0802f-befd-4466-ab1d-a7290136fe9f

Svara

Visa senaste svar