Ytintegraler

Ja, men din första formel gäller när du parametriserar din skalära funktion i x och y, dvs när du kan uttrycka z koordinaten som en funktion av x och y, $z=z(x,y)$.

Din parametrisering är då $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ och det skalära fältet ges av

$f(\mathbf{r}(x,y))$.

Mer allmänt gäller att $\displaystyle \int_S f\,dS=\iint_D f(u,v)\left|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right|\,dudv$

Sätter du in $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ istället för u och v ovan får du exakt din första formel.

Din andra formel gäller vektorfält och mer allmänt när du parametriserar i u och v $\mathbf{r}(u,v)$

Det finns minst fyra olika ytintegraler, men er kurs kanske inte behandlar dem alla.

D4NIEL skrev:

Ja, men din första formel gäller när du parametriserar din skalära funktion i x och y, dvs när du kan uttrycka z koordinaten som en funktion av x och y, $z=z(x,y)$.

Din parametrisering är då $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ och det skalära fältet ges av

$f(\mathbf{r}(x,y))$.

Mer allmänt gäller att $\displaystyle \int_S f\,dS=\iint_D f(u,v)\left|\vec{r}_u\times\vec{r}_v\right|\,dudv$

Sätter du in $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ istället för u och v ovan får du exakt din första formel.

Din andra formel gäller när vektorfält och mer allmänt när du parametriserar i u och v $\mathbf{r}(u,v)$

Det finns minst fyra olika ytintegraler, men er kurs kanske inte behandlar dem alla.

∫Sf dS=∬Df(u,v)∣∣r→u×r→v∣∣ dudv 

Tack för ditt svar. Är den här du skrev Green sats?

Nej, jag använder notationen S för surface och D för parameter- eller värdeförrådet för $\mathbf{r}$.

Det var alltså ytintegraler på båda sidor av likhetstecknet.

Greens sats (som är ett specialfall av Stokes' sats) kopplar ihop en sluten kurvintegral med ytintegralen över ytan som kurvan innesluter. Det ser ut så här (C står för Curve)

$\displaystyle \int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

Det finns också något som kallas Greens första- och andra formel, så det gäller att inte blanda ihop saker :)

Hmm ja det är det. Jag blandar de väldigt mycket. Kunde inte jobba vidare i boken för jag hade blandat vad är vad och vad vi håller på med.