Ytintegral singulärt vektorfält

Hela z-axeln är singulär så jag tänker så här:

$K=\left\{(x,y,z):\right.\left.{\epsilon }^2\le x^2+4y^2\le 4, 0\le z\le 1\right\}$och två lock $L_1=\left\{(x,y,z):\right.\left.{\epsilon }^2\le x^2+4y^2\le 4, z=0\right\}$och $L_2=\left\{(x,y,z):\right.\left.{\epsilon }^2\le x^2+4y^2\le 4, z=1\right\}$där $\epsilon \to 0^{+}.$

Kroppen $K$är sluten och jag undviker singularitet i z-axeln med $\epsilon \to 0^{+}.$

$\int \int {\int }_{K}div \mathit{A} dzdxdy = \int \int {\int }_{K}dzdxdy = \int {\int }_D(1-0)dxdy =\frac{\pi }{2}(4-{\epsilon }^2)$ där $D =\hspace{0.17em}\left\{(x,y):\right.\left.{\epsilon }^2\le x^2+4y^2\le 4\right\}.$

Och för det undre locket $\int {\int }_{L_1}\mathit{A}\left(\mathit{r}\right(x,y) ·\hat{n} dS = -\int {\int }_{D}dS = -\frac{\pi }{2}(4-{\epsilon }^2)$eftersom z-komponenten i $\mathit{A}$är 1 $\hat{n} =(0,0,-1).$

Övre locket på samma sätt, där z-komponenten i $\mathit{A}=2$ och $\hat{n}=(0,0,1)$: $2\int {\int }_D dS = \pi (4-{\epsilon }^2).$

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim } \int \int {\int }_{K}div \mathit{A} dxdydz - \int {\int }_{L_1}F dS - \int {\int }_{L_2}FdS = 0\ne -12\mathrm{\pi }.$

Vilket ger fel svar men jag har en sluten kropp och undviker z-axeln så vet inte vad jag gör fel.