Ytintegral - parametriseringen

Du kan testa, vad händer om du sätter in punkten (0,0,0) i din föreslagna ekvation? Är den sann?

De tre punkterna ska ligga i samma plan. Det finns flera sätt att bestämma planets ekvation.

Eftersom vi vet att planet går genom origo kan du ansätta $z(x,y)=ax+by$ och ställa upp ett ekvationssystem med de två kvarvarande punkterna. (1,0,0) och (1,2,3)

Du kan också skapa två vektorer mellan punkterna (dessa vektorer spänner planet) och sedan bildar du kryssprodukten (som då blir vinkelrät mot planet som spänns av de två vektorerna, dvs bildar normal till planet).

D4NIEL skrev:

Du kan testa, vad händer om du sätter in punkten (0,0,0) i din föreslagna ekvation? Är den sann?

Nej det kan de ju inte vara, för då skulle vi få $0·x+0·y+0·z=3$ vilket inte stämmer. för den punkten måste ekvationen vara = 0.

Eftersom vi vet att planet går genom origo kan du ansätta z(x,y)=ax+by och ställa upp ett ekvationssystem med de två kvarvarande punkterna. (1,0,0) och (1,2,3)

vektorerna från (0,0,0) till dessa punkter blir $v_1= (1,0,0)$ och $v_2=(1,2,3)$

kan jag sätta upp dem som:  $s\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right)$

som kan skrivas som$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\overline{)\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}}\right)$

och sedan förenkla ekvationssystemet? är jag på rätt väg?

Du har tagit fram planet på parameterform, men jag tänkte mig något mycket enklare. Du kan t.ex. bilda

$(1,0,0)\times(1,2,3)=(0,-3,2)$

Vilket är en normal till planet, dvs

$-3y+2z=0$

$z(x,y)=\frac32 y$

Ett annat sätt är ansatsen $z(x,y)=ax+by$

För punkten (1,0,0) får vi då

$z(x,y)=0=a\cdot 1+0,\quad a=0$

För punkten (1,2,3) få vi

$z(x,y)=3=b\cdot 2,\quad b=\frac32,\quad z(x,y)=\frac32y$

Nu har du en parametrisering $\mathbf{r}=(x,y,z(x,y))$

Jag har nu fortsatt uppgiften och gjort följande:

${\iint }_Y\mathbf{F}·N ds$ ,   där   $N ds =({\overline{r}}_x\text{'}\times {\overline{r}}_y\text{'})dxdy =(-f_x\text{'},-f_y\text{'},1)dxdy$ under förhållandet $z=f(x,y)=\frac{3}{2}y$ och att N är riktad uppåt från ytan.

då får jag $f_x\text{'}=\frac{3}{2}·0=0 \& f_y\text{'}=\frac{3}{2}$ vilket leder till att $N ds =(-f_x\text{'},-f_y\text{'},1)dxdy = (0,-\frac{3}{2},1)dxdy$

sedan lägga ihop med F genom skalärprod: ${\iint }_Y\mathbf{F}·N ds={\iint }_Y(y,x+y,z+x)· (0,-\frac{3}{2},1) dxdy$

$={\iint }_Y \left(y·0+(x+y)·-\frac{3}{2}+(z+x)·1\right)dxdy={\iint }_Y \left(-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y·+z+\frac{4}{2}x\right)dxdy$

$={\iint }_Y \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y+z\right)dxdy\to$ ( där $z=\frac{3}{2}y$)$\to {\iint }_Y \left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}y\right)dxdy={\iint }_Y \left(\frac{1}{2}x\right)dxdy$

Nu vill jag titta på parametriseringen för att förstå vilka gränser$Y$ ska ge men sitter fast lite...

är det punkterna från början av uppgiften som jag ska använda för att sätta gränserna innan jag byter till polära koordinater?

Polära koordinater behöver du inte använda i den här uppgiften. De är mest användbara när du har någon form av cirkulär eller rund symmetri.

Jag tycker att dina räkningar ser bra ut nästan ända fram till slutet där du har fått

Vad gäller gränserna har du parametriserat över x och y i xy-planet så du kan med gott samvete använda triangelns gränser:

$\displaystyle \int_{x=0}^1\int_{y=0}^{2x}\left(-\frac12x\right)\,dxdy$

${\int }_{x=0}^1{\int }_{y=0}^{2x}\left(-\frac{1}{2}x\right) dxdy$

Rätta mig om jag har fel, men borde inte det vara:

${\int }_{x=0}^1{\int }_{y=0}^{2x}\left(-\frac{1}{2}x\right) dydx$ ?

Jo, om du tillskriver $\mathrm{d}y\mathrm{d}x$ en annan integrationsordning än $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$. Fördelen med en sådan notation är att du då inte behöver specificera integrationsvariablerna.

Tanken är alltså att du ska integrera i y-led först och sedan i x-led.

Att oavsett vilken integrationsordning som gäller alltid upprätthålla koordinataxlarnas uppräkningsordning är en annan vanlig notation. Jag skriver alltså alltid $\mathrm{d}x \mathrm{d}y$ för att påminna om i vilken ordning axlarna ligger och indikerar istället integrationsordningen med gränserna (jag skriver $y=\dots$ för att visa vilka gränser som hör till integrationen i y-led osv)

Använd den notation ni lärt er under kursen.