Ytintegral av parameteryta

Hej! Jag sitter fast på denna uppgift, eftersom jag inte förstår hur facit får det till $\pi \frac{\sqrt{2}+\ln (1+\sqrt{2})}{2}$ . Det är en "svår uppgift" enligt uppgiftslydelsen, så jag antar att jag har missat något.

"Beräkna arean av ytan $Y$ som parametriseras genom $\vec r(s,t)=(s\cos t,s\sin t, t)$ där $0\leq s \leq 1$ och $0\leq t \leq \pi$ ."

Min lösning:

Först och främst tänker jag ytintegral, $\iint_S \lvert r'_u \times r'_v \rvert$ .

Jag får

$\lvert r'_u \times r'_v \rvert = \lvert \begin{pmatrix}sin t\-cos t\ s\end{pmatrix} \lvert = \sqrt{1+s^2}$

Därav får jag integralen $\int_0^{\pi}\int_0^1 s\sqrt{1+s^2}dsdt = \pi \int_0^1 s\sqrt{1+s^2} = \frac{\pi}{2} \int_1^2 2\sqrt{u}du$

vilket inte innehåller något $\text{ln}$ i sig, vilket är det facit söker. Vad gör jag för fel?

Jag fann denna från KTH som liknar din uppg.

så det kan vara att facit har fel.

Trinity2 skrev:
Jag fann denna från KTH som liknar din uppg.

så det kan vara att facit har fel.

Skulle du kunna skicka en länk till vart du hittade detta?

Funkar denna länk?

https://www.google.com/search?q=Ytintegral+av+parameteryta&rlz=1C5CHFA_enSE915SE915&oq=Ytintegral+av+parameteryta&gs_lcrp=EgZjaHJvbWUyBggAEEUYOTIGCAEQRRg80gEHNDY5ajBqN6gCALACAA&sourceid=chrome&ie=UTF-8#ip=1:~:text=SF1626%20Flervariabelanalys%20%2D%20F%C3%B6rel%C3%A4sning,courses%20%E2%80%BA%20files%20%E2%80%BA%20download

Det är 5:e resultatet; SF1626 Flervariabelanalys - Föreläsning 15

Obs din integral skall vara $π \int_{0}^{1} \sqrt{1 + s^{2}} d s$ . Du fick med ett extra s.

En framkomlig väg är att göra variabelbyte s = sinh(u).

Bra att känna till:

arsinh(x) = ln $(1 + \sqrt{1 + x^{2}})$

cosh²x - sinh²x = 1.

PATENTERAMERA skrev:
Obs din integral skall vara $π \int_{0}^{1} \sqrt{1 + s^{2}} d s$ . Du fick med ett extra s.

En framkomlig väg är att göra variabelbyte s = sinh(u).

Bra att känna till:

arsinh(x) = ln $(1 + \sqrt{1 + x^{2}})$

cosh²x - sinh²x = 1.

Även s=tan(u) är möjlig, men inte speciellt trevlig. Man får anta att det finns någon formelsamling…

PATENTERAMERA skrev:
Obs din integral skall vara $π \int_{0}^{1} \sqrt{1 + s^{2}} d s$ . Du fick med ett extra s.

En framkomlig väg är att göra variabelbyte s = sinh(u).

Bra att känna till:

arsinh(x) = ln $(1 + \sqrt{1 + x^{2}})$

cosh²x - sinh²x = 1.

Njae, jag tänkte att det extra $s$ -et var att byta till polära koordinater när jag integrerar. Eller behövs det inte i detta fall, eftersom parametriseringen redan är uttryckt i polära koordinater?

Nej, något extra s behövs inte. Vi byter ju aldrig koordinater utan använder de parametrar, s och t, som redan är givna.

PATENTERAMERA skrev:
Nej, något extra s behövs inte. Vi byter ju aldrig koordinater utan använder de parametrar, s och t, som redan är givna.

Jaha, ja men då inser jag vad jag gjort för fel! Då ska jag göra integrationen lite senare igen i eftermiddag och återkomma:)

Hm. Integralen är nog lite för svår för mig just nu. Kanske just för att vi aldrig gick igenom hyperbolicus-funktionerna i envariabelanalys. Får lägga den på att göra listan med lite lägre prio tyvärr. Förstår dock vad jag gjorde för fel i övrigt, det viktiga tycker jag är att jag vet hur integralen ska bestämmas.

coffeshot skrev:
Hm. Integralen är nog lite för svår för mig just nu. Kanske just för att vi aldrig gick igenom hyperbolicus-funktionerna i envariabelanalys. Får lägga den på att göra listan med lite lägre prio tyvärr. Förstår dock vad jag gjorde för fel i övrigt, det viktiga tycker jag är att jag vet hur integralen ska bestämmas.

Har du Månsson/Nordbeck? Isf se Exempel 12.29 som visar på ett bra knep för denna som gör det lätt. Det förutsätter dock att man kan integralen (12.12) vilket kanske inte är helt självklart.

Trinity2 skrev:
coffeshot skrev:
Hm. Integralen är nog lite för svår för mig just nu. Kanske just för att vi aldrig gick igenom hyperbolicus-funktionerna i envariabelanalys. Får lägga den på att göra listan med lite lägre prio tyvärr. Förstår dock vad jag gjorde för fel i övrigt, det viktiga tycker jag är att jag vet hur integralen ska bestämmas.

Har du Månsson/Nordbeck? Isf se Exempel 12.29 som visar på ett bra knep för denna som gör det lätt. Det förutsätter dock att man kan integralen (12.12) vilket kanske inte är helt självklart.

Nej, jag har Adams (Calculus). Den boken rymmer väl dock allt, så det finns säkert något knep där någonstans med. Kan kika!

Svara

Visa senaste svar