Ytintegral av kon

Jag hittade en youtubevideo som visade ett liknande problem, jag har fått fram svaret -1/2 men osäker på om det verkligen är rätt. 

I din videon används formeln för att beräkna ytintegralen:

$\int {\int }_S f(x,y,z) dS = \int \int { }_{D}f(x,y,g(x,y) \sqrt{1 + {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+ {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2 dA}$

jag följde videon och räknade med den och fick då ett svar.

Dock när dem i videon gjorde variabelbytet multiplicerades den nya funktionen med $r dr d\theta$ istället för funktionsdeterminanten*$dr d\theta$.

Detta förvirrar mig då jag alltid använt determinanten vid variabelbyte. Bifogar bild på min uträkning, vid det röda frågetecknet sker det jag inte förstår.

Jag tror du blandar ihop parametrisering med variabelbyte. Du har redan parametriserat ytan som r=(x, y, sqrt(x²+y²). Du har sedan beräknat normen av ytnormalen, ||n|| = sqrt(2), helt i sin ordning. Ditt ytelement blir då, dS = ||n||dxdy 

Du får alltså en "vanlig" dubbelintegral i xy-planet utan något z (z ersätts av din tidigare parametrisering). Du kan nu välja att byta koordinater till polära koordinater för att lösa dubbelintegralen. Då kommer dxdy bli r*drdt (där r är funktionaldeterminanten)

Det är alltså olika saker att parametrisera en yta, jämfört med att byta koordinater.

Svaret jag fick fram i min kommentar var rätt så uppgiften är löst.

Jag är fortfarande inte helt med på varför/hur r blir funktionsdeterminant. När kan man använda det sambandet och när måste man räkna ut den? 

Som jamolettin påpekar är vi egentligen intresserade av är hur längden av normalen $N$ skalas in.

Den parameterframställning du valt är

$\mathbf{r}(r,\theta)=\left(r\cos(\theta), r\sin(\theta), r\right)$

I din kurslitteratur finns det kanske en formel för normalen som ser ut ungefär så här:

$\displaystyle \mathbf{N}=\frac{\partial \mathbf{r}^\prime_r}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}^\prime_\theta}{\partial \theta}$

Beräknar man kryssprodukten får man

$\mathbf{N}=\left(-r \cos(\theta), -r \sin(\theta), r\right)$

Om du sätter $f=z$ ser du att

$|N|=\sqrt{1+}$

$|N|\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\sqrt{2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$

Detta kan man nu sätta in direkt i integralen.

$\displaystyle \int_{r=0}^1 \int_{\theta=\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} r\cos\left(\theta\right)r\,\sqrt{2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=-\frac{1}{2}$

Man kan också gå "omvägen" genom att först parametrisera i x och y och sedan byta till polära koordinater. Vilket som är enklast beror på om du redan kan vissa koordinatsystem utantill och inte behöver beräkna kryssprodukter eller andra faktorer som problemets geometriska egenskaper.

När man använder x och y samt z=f(x,y) som parameterframställning kan man använda formeln

$N=(-f^\prime_x, -f^\prime_y,1)$ som normal.

Sätter du $f=z$ ser du att du får samma normal som i dina räkningar

$|N|=\sqrt{1+(z^\prime_x)^2+(z^\prime_y)^2}$

Tillägg: 5 mar 2024 13:44

Här blev det många fel; bland annat ska det vara

$\mathbf{N}=\mathbf{r}^\prime_r\times\mathbf{r}^\prime_\theta=\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial r}\times\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial \theta}$

Men jag hoppas tanken framgår ändå.