Ytintegral av en sfär

Har du börjat med att rita upp sfären och området du skall integrera över? Lägg upp bilden här.

för att göra det tydligare visar jag med geogebra. Där jag har markerat går den delen av cylindern som ska bort från integralen då r ska gå mellan 1 och 3. Linjerna x=y och -x=y begränsar tillsammans det området som ska integreras. 

jeng skrev:

för att göra det tydligare visar jag med geogebra. Där jag har markerat går den delen av cylindern som ska bort från integralen då r ska gå mellan 1 och 3. Linjerna x=y och -x=y begränsar tillsammans det området som ska integreras. 

Tyvärr, jag klarar inte att se på din bild vilken yta det är man skall integrera över. Skall det föreställa den lilla tårtbiten högst upp?

nej, det är den del av sfären som ligger på cylinderns yta där cylinderns radie ligger mellan 1 och 3. Tårtbiten vid z-axeln visar det som inte ska vara med, inklusive ''hatten'' på sfären över den ytan.

ytan Y är den del av sfären 9=x²+y²+z² som ligger ovanför området x≤y , −x≤y, 1≤x²+y²≤ 9.

Har din sfär radien 3?

Jag misstänker att det är tänkt att du ska använda symmetriargument eftersom z är positiv på övre halvan av sfären och negativ på undre halvan...

Svaret blir förbluffande enkelt :)

Men börja med att skissa området i xy-planet.

svaret är inte 0 :(

Smaragdalena skrev:

ytan Y är den del av sfären 9=x²+y²+z² som ligger ovanför området x≤y , −x≤y, 1≤x²+y²≤ 9.

Har din sfär radien 3?

ja, och cylindern som begränsar ytan har radie mellan 1 och 3

Jag förstår inte din parameterframställning i sfäriska koordinater, men vi kanske kan ta den andra parameterframställningen först.

Vad fick du för funktionaldeterminant? Kan du visa dina räkningar? (dvs då du sätter $z=\sqrt{9-r^2}$. Tycker det blir väldigt bekväma räkningar...)

Ledtråd: $\displaystyle dS=|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}|drdt=\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}dr dt$

D4NIEL skrev:

Jag förstår inte din parameterframställning i sfäriska koordinater, men vi kanske kan ta den andra parameterframställningen först.

Vad fick du för funktionaldeterminant? Kan du visa dina räkningar? (dvs då du sätter $z=\sqrt{9-r^2}$. Tycker det blir väldigt bekväma räkningar...)

Ledtråd: $\displaystyle dS=|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}|drdt=\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}dr dt$

Ja, men om jag har med r har jag 3 variabler som ska integreras. Alltså r, fi och theta. Då kan jag inte använda kryssprodukten av tre olika derivator, eller?

detta blir fel

detta blir också fel...

Ja, men om jag har med r har jag 3 variabler som ska integreras. Alltså r, fi och theta. Då kan jag inte använda kryssprodukten av tre olika derivator, eller?

Om du är på ytan av en sfär så är r konstant.

Smaragdalena skrev:

Ja, men om jag har med r har jag 3 variabler som ska integreras. Alltså r, fi och theta. Då kan jag inte använda kryssprodukten av tre olika derivator, eller?

Om du är på ytan av en sfär så är r konstant.

exakt, men det blir inte heller rätt. Gör jag fel nånstans?

Jag saknar fortfarande en begriplig bild av området du vill integrera över. Det verkar svårt att rita sfären, så rita bara det tvådimensionella området x≤y , −x≤y, 1≤x²+y²≤ 9. Lägg upp bilden här.

här ser man området ovanifrån. Linjerna är x=y och -x=y, det är området extra skuggat mellan dessa två linjer som man ska integrera över. 

jeng skrev:

här ser man området ovanifrån. Linjerna är x=y och -x=y, det är området extra skuggat mellan dessa två linjer som man ska integrera över. 

Är det området "ungefär runt klockan 12" som du menar?

(Jag tycker verkligen inte om skrivsättet −x≤y - det vrider och vänder på sig i skallen! Det betyder väl att $x\ge-y$, eller har det snurrat fel?)

Det innebär att även när x är negativt så måste det vara större än y. Därför är ytan över linjen -x=y på bilden. Alltså ytan som ska integreras är triangeln mellan 4de och första kvadranten. Därför parametriserade jag med att theta ska ligga mellan pi/4 och 3pi/4.

Smaragdalena skrev:

jeng skrev:

här ser man området ovanifrån. Linjerna är x=y och -x=y, det är området extra skuggat mellan dessa två linjer som man ska integrera över. 

Är det området "ungefär runt klockan 12" som du menar?

(Jag tycker verkligen inte om skrivsättet −x≤y - det vrider och vänder på sig i skallen! Det betyder väl att $x\ge-y$, eller

har det snurrat fel?)

Så mellan kl 11 och kl 2 kan man tänka :)

För det första

$\displaystyle \int_{r=1}^3\int_{\pi/4}^{3\pi/4} (r\cos\left(t\right)+r\sin\left(t\right))\cdot 3r\, drdt=3(\int_{r=1}^3 r^2\,dr)\cdot (\int_{t=\pi/4}^{t=3\pi/4} \sin\left(t\right)\,dt)=26\sqrt{2}$

Jag förstår inte hur du fick $60\sqrt{2}$, men det är alltså så att $\cos(t)$ är ojämn på området och dör och du bör bara få $r^2$ att integrera, inte $r^3$.

Om du istället ska använda sfäriska koordinater måste du komma ihåg att radien $r^2=\rho^2+r^2\cos^2(\theta)$ och det är $r$ som är konstant, inte $\rho$.

Slutligen

Ja, men om jag har med r har jag 3 variabler som ska integreras. Alltså r, fi och theta. Då kan jag inte använda kryssprodukten av tre olika derivator, eller?

En yta i R³ parametriseras av 2 variabler. När du parametriserar är målet alltså att lyckas beskriva varje punkt på ytan i 3 dimensioner med två variabler, t.ex. så här

$\mathbf{r}(u,v)=(u\cos(v), u\sin(v),\sqrt{9-u^2})$

Edit: Bytte till parametrarna $(u,v)$ för att tydliggöra att det är parametrar fristående från t.ex. sfäriska koordinater.

Okej! 

Tack så jättemycket för hjälpen, såg var jag gjorde fel med det extra r...så räknefel helt enkelt ahah vad bra. Men hur beskriver du r² på det sättet? 

Obs, detta inlägg gäller sfäriska koordinater

Med $x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)$ och $z=r\cos(\theta)$ så är

$x^2+y^2=r^2\sin^2(\theta)(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi))=r^2\sin^2(\theta)=\rho^2$

Och $r^2=x^2+y^2+z^2$

På din yta är $r$ konstant, inte $\rho$. Tvärtom ska $1\leq \rho\leq 3$