Ytintegral

Jag ska beräkna följande:

$\displaystyle{\int_S \sqrt{1+4(x^2+y^2)} \,dxdy }$ , där ytan
$\mathrm{S}:\left[0 \leq (x-1)^2+(y-1)^2 \leq 4 \right]$ \

För att försöka lösa integralen byter jag till cylinderkoordinater:

$\displaystyle{\int_S \sqrt{1+4(x^2+y^2)} \,dxdy = \int_S \rho \sqrt{1+4(\rho^2+2+2\rho (\cos \phi + \sin \phi)} \, d\rho d\phi }$

Men hur löser jag denna?

Om du ser till att ändra koordinatsystemet så att ytan är centrerad i origo borde det bli enklare. Har inte räknat uppgiften, men det är min första tanke.

Tack för svar!

Jag antar att du menar detta: $\displaystyle{u=x-1, \, v=y-1 \Rightarrow \int_S\sqrt{1+4((u+1)^2+(v+1)^2)} \,dudv}$

Men om jag sen byter till cylinderkoordinater får jag exakt samma:

$\displaystyle{u= \rho \cos \phi ,\, v= \rho \sin \phi \Rightarrow \int_S \rho \sqrt{1+4((\rho \cos \phi +1)^2+(\rho \cos \phi +1)^2)} \, d\rho d\phi =}$ \\

$\displaystyle{= \int_S \rho \sqrt{1+4(\rho^2+2+2 \rho (\cos \phi + \sin \phi)} d\rho d\phi}$

Eller tolkade jag dig fel?

Jag skulle utveckla kvadraterna först och se om det ger något.

Då får jag $\int_{S} \sqrt{(} 9 + 4 u^{2} + 8 u + 4 v^{2} + 8 v) d u d v$

Vet inte hur jag ska lösa den heller :/

Hur blir det om du går över till polära koordinater nu? (Cylindriska koordinater är i tre dimensioner.)

Med polära koordinater blir det nu $\int_S \rho \sqrt{9+4\rho^2+8\rho (\cos \phi + \sin \phi )}$ , vilket är precis samma som jag fick från början (vilket det borde bli ty det är samma variabelbyte fast i två steg istället för ett).

Svara

Visa senaste svar