Yta och area

Det är en sfär med extra villkor (vilka villkor?)

Qetsiyah skrev:

Det är en sfär med extra villkor (vilka villkor?)

Är du menar att det kan beräkna ut med hjälpa av rymdpolära koordinator? Här funktionsytan är z=sqr ( p^2- x^2-y^2). 

Vi har ingen föreläsning pga covid19,

Hur kommer det sig? Universitet och högskolor är inte nedstängda, de har övergått till distansundervisning eller fjärrundervisning. Har nin inte föreläsningar via webben? Vilket universitet eller högskola läser du på?

Smaragdalena skrev:

Vi har ingen föreläsning pga covid19,

Hur kommer det sig? Universitet och högskolor är inte nedstängda, de har övergått till distansundervisning eller fjärrundervisning. Har nin inte föreläsningar via webben? Vilket universitet eller högskola läser du på?

Jag skulle fortfarande önska ett svar på min fråga.

I sfäriska koordinater beskrivs sfären $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ av

$r=\rho$

$0\leq\theta\leq2\pi$

$0\leq\varphi\leq\pi$

(även vanligt att $\varphi$ och $\theta$ byter plats)

Nu har vi även ytterligare ett villkor, nämligen att $z\geq\eta$. Eftersom $z=r\cos(\varphi)$ är $z\geq\eta$ ekvivalent med $r\cos(\varphi)\geq\eta$. Vad ställer det för villkor på $\varphi$?

AlvinB skrev:

I sfäriska koordinater beskrivs sfären $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ av

$r=\rho$

$0\leq\theta\leq2\pi$

$0\leq\varphi\leq\pi$

(även vanligt att $\varphi$ och $\theta$ byter plats)

Nu har vi även ytterligare ett villkor, nämligen att $z\geq\eta$. Eftersom $z=r\cos(\varphi)$ är $z\geq\eta$ ekvivalent med $r\cos(\varphi)\geq\eta$. Vad ställer det för villkor på $\varphi$?

Tack! Är du menar φ≥ cos^-1(η/r)? 

Du är nära!

Cosinusfunktionen är avtagande i intervallet $[0,\frac{\pi}{2}]$, så du får vända på olikhetstecknet så att du får:

$\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$

Kan du nu ställa upp en integral?

AlvinB skrev:

Du är nära!

Cosinusfunktionen är avtagande i intervallet $[0,\frac{\pi}{2}]$, så du får vända på olikhetstecknet så att du får:

$\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$

Kan du nu ställa upp en integral?

Arean blir som${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }_0^{2\pi }{r}^2\sin \left(\phi \right)d\phi d\theta =2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(\mathrm{\phi }\right)\mathrm{d\phi } =2{\mathrm{\pi r}}^2 ?$

Shiya skrev:

AlvinB skrev:

Du är nära!

Cosinusfunktionen är avtagande i intervallet $[0,\frac{\pi}{2}]$, så du får vända på olikhetstecknet så att du får:

$\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$

Kan du nu ställa upp en integral?

Arean blir som${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }_0^{2\pi }{r}^2\sin \left(\phi \right)d\phi d\theta =2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(\mathrm{\phi }\right)\mathrm{d\phi } =2{\mathrm{\pi r}}^2 ?$

Nä. Gränserna för $\varphi$ var ju $0\leq\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$.

AlvinB skrev:

Shiya skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Du är nära!

Cosinusfunktionen är avtagande i intervallet $[0,\frac{\pi}{2}]$, så du får vända på olikhetstecknet så att du får:

$\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$

Kan du nu ställa upp en integral?

Arean blir som${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }_0^{2\pi }{r}^2\sin \left(\phi \right)d\phi d\theta =2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(\mathrm{\phi }\right)\mathrm{d\phi } =2{\mathrm{\pi r}}^2 ?$

Nä. Gränserna för $\varphi$ var ju $0\leq\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$.

$2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\arccos \left(\frac{\mathrm{\eta }}{\mathrm{r}}\right)} \sin \left(\mathrm{\phi }\right) \mathrm{d\phi } = 2{\mathrm{\pi r}}^2(-\frac{\eta }{r}+1) ?$ 

Shiya skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Shiya skrev:

AlvinB skrev:

Du är nära!

Cosinusfunktionen är avtagande i intervallet $[0,\frac{\pi}{2}]$, så du får vända på olikhetstecknet så att du får:

$\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$

Kan du nu ställa upp en integral?

Arean blir som${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }_0^{2\pi }{r}^2\sin \left(\phi \right)d\phi d\theta =2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(\mathrm{\phi }\right)\mathrm{d\phi } =2{\mathrm{\pi r}}^2 ?$

Nä. Gränserna för $\varphi$ var ju $0\leq\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$.

$2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\arccos \left(\frac{\mathrm{\eta }}{\mathrm{r}}\right)} \sin \left(\mathrm{\phi }\right) \mathrm{d\phi } = 2{\mathrm{\pi r}}^2(-\frac{\eta }{r}+1) ?$ 

Det ser rätt ut!

Nu löste vi detta lite mer algebraiskt, men det går också att göra lite mer geometriskt. Se denna tråd t.ex.:

https://www.pluggakuten.se/trad/valj-lampliga-intervall-vid-parametrisering/

AlvinB skrev:

Shiya skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Shiya skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Du är nära!

Cosinusfunktionen är avtagande i intervallet $[0,\frac{\pi}{2}]$, så du får vända på olikhetstecknet så att du får:

$\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$

Kan du nu ställa upp en integral?

Arean blir som${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }_0^{2\pi }{r}^2\sin \left(\phi \right)d\phi d\theta =2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(\mathrm{\phi }\right)\mathrm{d\phi } =2{\mathrm{\pi r}}^2 ?$

Nä. Gränserna för $\varphi$ var ju $0\leq\varphi\leq\arccos(\dfrac{\eta}{r})$.

$2{\mathrm{\pi r}}^2 {\int }_0^{\arccos \left(\frac{\mathrm{\eta }}{\mathrm{r}}\right)} \sin \left(\mathrm{\phi }\right) \mathrm{d\phi } = 2{\mathrm{\pi r}}^2(-\frac{\eta }{r}+1) ?$ 

Det ser rätt ut!

Nu löste vi detta lite mer algebraiskt, men det går också att göra lite mer geometriskt. Se denna tråd t.ex.:

https://www.pluggakuten.se/trad/valj-lampliga-intervall-vid-parametrisering/

Tack så mycket för ditt hjälp, väldigt bra förklaring!