Yatzykast med tretal

på a

Jag är lite osäker på vad de menar med frågan, antal kast som ger tretal eller antal möjliga sätt ett tretal kan se ut på. 

Jag börjar med det senare alternativet: välj först en valör att ha tretal i, kan göras på 6 sätt, välj sen valörer på de två återstående tärningarna kan göras på 5 över 2 olika sätt

totalt alltså 6*5*4/2 = 60

på b (och även på a om jag tolkat a på det första sättet)

gynnsamma utfall delat med totala antalet utfall

totala är givetvis 6⁵

Gynnsamma

du ska välja 1 av 6 valörer

sen ska du välja 3 tärningar av 5 som visar den valören (5 över 3)

den fjärde tärningen kan ha 5 utfall (annars blir det fyrtal)

den femte slutligen har 4 möjliga utfall.

så då får vi

6*5*4*3*5*4/(1*2*3) = 1200

sen är det bara att dela

Först den eviga tolkningsfrågan. :) Jag tror att det är bäst att tolka första uppgiften som "hur många av alla de 6^5 möjliga utfallen leder till tretal?" snarare än "hur många olika tretal finns det i Yatzy?". Det brukar vara det förstnämnda de frågar efter på sådana här frågor, speciellt när de skriver "utfall" snarare än t.ex. "resultat". Med "hur många utfall" menas vanligtvis typ "på hur många sätt kan det bli så här" även om flera av sätten innebär samma resultat (vad man räknar som ett "resultat" är ju lite mer beroende på kontexten, som vilka regler man har i spelet osv).
Om vi t.ex. har två personer i ett rum, Bob och Rob, och vi undrar hur många i rummet som har hatt på sig så kanske vi bara räknar 0, 1 och 2 personer som de möjliga svaren (resultaten), men det finns ju fyra utfall i bemärkelsen att "bara Bob har hatt" och "bara Rob har hatt" är två olika sätt på vilket resultatet kan bli 1. Om alla utfall har samma sannolikhet att förekomma så är alltså resultatet 1 troligare än de två andra resultaten. Om vi frågar "hur många av utfallen innebär att exakt en person har hatt på sig" så skulle svaret alltså vara att det finns två sådana utfall, även om resultatet i båda fallen är samma, dvs att 1 person har hatt. När de frågar efter antalet utfall som ger tretal i Yatzy så skulle jag alltså tro att de på samma sätt menar "hur många av de 6^5 möjliga utfallen innebär att vi får resultatet tretal".

Anyway, tillbaka till frågan! Du har fått rätt antal i början fast på ett lite felaktigt sätt. I täljaren så väljer du först en valör och sedan en tärning att ha i den valören, sedan en ny valör och en tärning att ha i den valören. Men när du först väljer en av de fem kvarvarande valörerna och sedan (i ett nytt moment) en av de fyra kvarvarande så har du så att säga redan bestämt ordningen på dessa. Därför behöver du inte multiplicera med (2-tag-1) för att välja tärning, för då bestämmer du ordningen en gång till. Det är denna överflödiga ordning du sedan "dividerar bort" med 2! i nämnaren, vilket är varför svaret ändå blir rätt till slut.
Noter att (5-tag-1)*(4-tag-1) är dubbelt så stort som (5-tag-2), och det kan man säga är för att i det första fallet så bestämmer vi inte bara vilka två saker vi tar utan vi gör det även i en viss ordning. Det hade alltså räckt om du valt två valörer av fem och en tärning av två: (5-tag-2)*(2-tag-1). Då har vi bestämt allt som ska bestämmas, nämligen vilka valörer vi ska ha och vilken tärning som ska visa vilken valör.

Du kan även tänka att antalet blir $6\times \left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\times 5\times 4=1200$, för först väljer vi en valör att ha triss i, sedan vilka tre tärningar vi har det med, och därefter finns 5*4 sätt för de sista två tärningarna att anta unika valörer.

Sannolikheten blir helt enkelt detta dividerat med 6^5, dvs 1200/6^5 = ca 0.1543.

Ture var snabbare än mig som vanligt. :') Kanske om jag inte babblade så mycket...

Ture skrev:

...antal möjliga sätt ett tretal kan se ut på. 

Jag börjar med det senare alternativet: välj först en valör att ha tretal i, kan göras på 6 sätt, välj sen valörer på de två återstående tärningarna kan göras på 5 över 2 olika sätt

 

Om det hade handlat om två par istället, hur hade antalet möjliga sätt varit då?

Välj tre valörer och välj en av dessa som ska vara "singel", dvs $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=60$. Det funkar även att i andra steget välja två av de tre valörerna som ska vara paren eftersom (3-tag-1) = (3-tag-2).