Yatzykast med ett par (Vilket är rätt???) (Matematik/Matte 5/Kombinatorik)

3600. Gör som Ture skrev i din förra tråd, bara att anpassa för par istället för tretal

Men varför är 600 fel?? (Man kan ju tycka att förklaringen i boken borde vara genomtänkt)

När jag räknar får jag också 600:

$\frac{(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})}{3!} = 600$

Hur tänker du i din beräkning?

Jag tror att det är det här som händer: lösningen i boken menar i sista steget att man väljer 3 valörer av de 5 som återstår dvs C(5,3). Men då missar man att dessa tärningar kan komma i olika ordningar som blir olika utfall, då måste man räkna in permutationer av dessa, alltså 3! = 6. Då får man samma sak 600*6=3600 (men det är ett krångligare sätt tycker jag). Det är så jag förstår det i alla fall, kan ha fel :-)

Felpost.

Jag tycker att det känns enklast att tänka att vi väljer två av fem tärningar och väljer en av sex valörer åt dessa två. Resterande tre tärningar behöver vara unika så de kan anta 5, 4 respektive 3 valörer. Därför får vi $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) * 6 * 5 * 4 * 3 = 3600$ möjligheter.

EDIT: Btw, felet de gör i boken verkar vara att de räknar de sista tre tärningarnas möjligheter som 5-tag-3 stycken, men så blir det ju inte riktigt. Ett enklare exempel är om man bara kastar två tärningar—hur många sätt finns det då att få två olika valörer? Det finns som bekant 36 olika möjligheter totalt, men i 6 av dem har tärningarna samma valör, så det sökta antalet är 30. Men enligt deras sätt att tänka så skulle antalet bli 6-tag-2, vilket bara är 15.

Russell skrev:
$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) * 6 * 5 * 4 * 3 = 3600$ möjligheter.

Ok!

Ledsen men jag förstår fortfarande inte riktigt...

När man räknar sådär, räknar man inte ”samma” utfall flera gånger då?

t.ex. :

5-5-3-2-1

5-5-2-1-3

Jo det stämmer. Det är så vi gör i nämnaren: $6^5 = 7776$ så vi måste göra likadant när vi räknar alla utfall, i alla fall om vi ska räkna på sannolikheter.

Inabsurdum skrev:
Jo det stämmer. Det är så vi gör i nämnaren: $6^5 = 7776$ så vi måste göra likadant när vi räknar alla utfall, i alla fall om vi ska räkna på sannolikheter.

Känner mig väldigt förvirrad nu...

I en tidigare uppgift var frågan: "Hur många av utfallen vid ett yatzykast har två par, dvs 2 tärningar visar en valör och 2 tärningar en annan valör och den sista tärningen en tredje valör."

Då räknar jag såhär:

$\frac{(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})}{2!} \times (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 1800$

Nu har jag ju inte samma utfall flera gånger. (Detta stämmer med bokens facit).

Men på frågan om hur stor sannolikheten är att man i ett yatzykast får två par är då svaret:

$\frac{1800}{7776} = 0.231$

Med detta i åtanke borde ju svaret med ett par vara (600/7776), då man inte räknar med "samma" utfall flera gånger??

Kan du förklara hur du resonerar med uträkningen?

Inabsurdum skrev:
Kan du förklara hur du resonerar med uträkningen?

På frågan: "Hur många av utfallen vid ett yatzykast har två par, dvs 2 tärningar visar en valör och 2 tärningar en annan valör och den sista tärningen en tredje valör.", tänker jag såhär:

$\frac{(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})}{2!} \times (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 1800$

Med 6 över 1 väljer jag vilken valör som ett par ska ha (därav 5 över 2).

Sedan väljer jag vilken valör som det andra paret ska ha, 5 över 1. ( Då väljer 2 tärningar av de resterande 3).

För sista tärningen så väljer jag en valör, 4 över 1.

Om jag inte dividerar med 2 så räknar jag med att t.ex.:

3-3-4-4-6

4-4-3-3-6

är två olika utfall ( vilket det inte är).

Om man får det till 7 776 =6⁵ olika utfall, så innebär det att man räknar t ex 12345 och 23451 som olika i nämnaren, och då måste man göra det i täljaren också.

Smaragdalena skrev:
Om man får det till 7 776 =6⁵ olika utfall, så innebär det att man räknar t ex 12345 och 23451 som olika i nämnaren, och då måste man göra det i täljaren också.

Betyder det då att boken har fel? (De räknar på samma sätt när de beräknar hur många av utfallen vid ett yatzykast som har fyrtal och tretal också, samt sannolikheten för dessa (dvs. att de bara dividerar svaret på frågan om "hur många av utfallen..." med 7776 .)

Men på frågan om hur många av utfallen vid ett yatzykast som har ex. två par eller ett par, ska jag då räkna med "samma" utfall flera gånger?

Men på frågan om hur många av utfallen vid ett yatzykast som har ex. två par eller ett par, ska jag då räkna med "samma" utfall flera gånger?

Omöjligt att svara på. Den som har ställt frågan borde ha formulerat sig så tydligt att man inte behöver fundera på vilket man menar. (Här har vi anledningen till att många matte- och fysikuppgifter är så förtvivlat krystat formulerade - man vill vara så tydlig att det inte är möjligt att missförstå frågan.)

Jag tror att uträkningen är rätt men att man ska tolka det annorlunda: först väljer du valör för första paret (6), sen placering (2 av 5 tärningar, C(5,2)), sen valör för nästa par (5), sen placering av det paret (2 av 3 tärningar som är kvar, C(3,2)), slutligen valör på sista tärningen (4). Problemet är nu att man kan få samma utfall flera gånger (och inte att man får samma täningar i olika ordning utan faktiskt exakt samma sekvens) eftersom vi har valt par 2 gånger: t.ex. om jag väljer först par i ettor, sen par i tvåor och en trea, så kan jag först placera ettorna, sen tvåorna och trean t.ex. så här 1,1,2,2,3. Men om jag väljer först par i tvåor, sen par i ettor och en trea så kan jag få exakt samma 1,1,2,2,3. Därför dividerar vi med permutationer mellan val av paren, alltså 2!.

Men det är väldigt klurigt och känns inte som att boken gör det lättare!

KriAno skrev:
Russell skrev:
$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) * 6 * 5 * 4 * 3 = 3600$ möjligheter.
Ok!
Ledsen men jag förstår fortfarande inte riktigt...
När man räknar sådär, räknar man inte ”samma” utfall flera gånger då?
t.ex. :
5-5-3-2-1
5-5-2-1-3

Efter att ha tänkt lite mer på källan till förvirringen här så vill jag säga att du har rätt, och jag tar tillbaka det jag skrev om att boken har räknat fel. De verkar ha menat antalet olika resultat som innebär par snarare än antalet möjliga sätt att få par. Antalet möjliga sätt (som jag beräknade) är 3600, men om vi bara bryr oss om antalet olika resultat så behöver vi dividera detta med 3!=6 för att "få bort" de olika ordningarna av de tre singelvalörerna. Då får vi 3600/6 = 600.

Tack så jättemycket för hjälpen allihopa!!!

Smaragdalena skrev:
Om man får det till 7 776 =6⁵ olika utfall, så innebär det att man räknar t ex 12345 och 23451 som olika i nämnaren, och då måste man göra det i täljaren också.

Hur ska man göra ifall man vill veta hur många olika "resultat" som man kan få vid ett yatzy kast? Alltså att t.ex. 12345 och 23451 räknas som 1 utfall?

Felpost.

Då måste man börja med att definiera vad man menar med "resultat" och hur många olika resultat man har, och om ine´te alla resultat är lika sannolika så har man gjort det svårt för sig.

KriAno skrev:
Smaragdalena skrev:
Om man får det till 7 776 =6⁵ olika utfall, så innebär det att man räknar t ex 12345 och 23451 som olika i nämnaren, och då måste man göra det i täljaren också.
Hur ska man göra ifall man vill veta hur många olika "resultat" som man kan få vid ett yatzy kast? Alltså att t.ex. 12345 och 23451 räknas som 1 utfall?

Jag tolkar din fråga så här:

Jag kastar en tärning 5 ggr och vill veta hur många olika utfall jag kan få utan hänsyn till ordning.

Det motsvarar fallet "dragning med återläggning utan hänsyn till ordning"

Tänk dig att vi har en kruka med 6 bollar, numrerade 1-6 och du drar en slumpvis boll, noterar siffran lägger tillbaka och drar igen. eftersom vi struntar i ordningen är 11112 samma sak som 21111.

Antal möjliga utfall blir då $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$

där n är antal bollar (dvs 6 i fallet 6-sidig tärning)

k är antal dragningar (dvs 5 i fallet yatzy)

Med 5 tärningar kan vi alltså få

$(\begin{matrix} 6 + 5 - 1 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{10 * 9 * 8 * 7 * 6}{1 * 2 * 3 * 4 * 5}$

vilket blir 252 olika utfall.

Ok! Tack Ture!!

Jag postade först samma svar som Ture (jag klipper in det jag skrev i en spoiler i botten på detta inlägg om någon är intresserad). Men jag insåg när jag postat det att det ju inte kan finnas 600 olika resultat som är par om det totalt bara finns 252 olika resultat. Det gjorde för ont i hjärtat att ha sådana motsägelser här i tråden, så jag tog bort mitt inlägg igen och tänkte reda ut frågan om antalet par först. :)

Antalet par blir bara 60. Det är lätt att kontrollera för vi kan helt enkelt skriva upp alla möjliga resultat som innebär t.ex. par i ettor. Det blir 10 stycken, och det finns lika många för varje av de sex valörerna vi kan ha par i, så totalt får vi 6*10=60. Kombinatoriskt så väljer vi helt enkelt först fyra valörer och sedan en av dessa som ska vara paret: $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 15 \times 4 = 60$ .

Eller så väljer vi en valör vi ska ha par i och sedan väljer vi 3 andra valörer av de 5 kvarvarande: $(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = 6 \times 10 = 60$ . Eftersom ordningen på tärningarna inte spelar roll så behöver vi inte välja vilka två som ska vara paret (oavsett vilka vi väljer så får vi ju samma resultat), och det var därför de fick en tiofaktor för mycket i boken.

Visa spoiler

Om vi tänker på hur många sätt det finns att välja k saker bland n stycken med och utan återlägg (med 'återlägg' menar jag att varje sak kan väljas flera gånger) och med och utan hänsyn till ordningen så finns det följande möjligheter med tillhörande formel:

1. Med återlägg, ordningen spelar roll: $n^{k}$
Det är rätt uppenbart. Om vi ska välja k saker, där varje sak kan förekomma flera gånger och vi räknar olika ordningar som olika resultat, då kan vi ju alla k gångerna välja bland alla n sakerna, så vi får n*n*n*... osv k gånger.

2. Utan återlägg, ordning spelar roll: $n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1)$
Den här är också ganska självförklarande. Första gången kan vi välja bland alla n, andra gången kan vi välja bland alla utom den vi nyss fick osv. (Fundera gärna på varför det blir k+1 istället för bara k på slutet. Det är lätt att glömma ettan!)

3. Utan återlägg, ordning spelar inte roll: $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$
Detta fall är ju precis vad vi har binomialkoefficienten till, så det känns också intuitivt.

4. Med återlägg, ordning spelar inte roll: ???
Detta är fallet du frågar om. Varje siffra på tärningen får förekomma flera gånger, men ordningen de kommer i spelar ingen roll eftersom vi inte räknar olika ordningar som olika resultat. Till skillnad från alla de tre första fallen så är just den här formeln tyvärr inte lika uppenbar: $(\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})$ . Man kan förstås resonera sig fram till varför det blir just så, men det är åtminstone inte lika tydligt som i de första tre fallen.

I din fråga så är alltså n=6 (de möjliga valörerna som vi väljer bland) och k=5 (antalet tärningar som s.a.s. är antalet gånger vi väljer), så antalet olika resultat som går att få i yatzy blir totalt $(\begin{matrix} 6 + 5 - 1 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) = 252$ .

Jag tror ändå att boken gjorde fel åt andra hållet, att man ville få det till 3600 men saknade en faktor (se mitt svar ovan), men det spelar ingen roll annat än att det är roligt att spekulera i :-)

Dock, bara för att förtydliga med tanke på ursprungliga frågan: 60/252 kommer inte att ge sannolikheten att få par då de 252 utfallen inte har samma sannolikhet, som Smaragdalena var inne på. Så allt beror på vad frågan är.

Ja, deras svar är ju antingen 10 ggr för högt eller 6 ggr för lågt, och jag håller med om att det låter troligare att de siktade på 3600. Det är ju en lite vanligare och mer användbar grej att räkna ut så om de menade något annat hade de gissningsvis varit tydligare med vad de menade.

Btw, jag är ledsen att jag bidrog till förvirringen i mitt andra inlägg i tråden. Man kan inte räkna så som jag gjorde där men jag var lat och tänkte inte efter innan jag postade. ¯\_(ツ)_/¯

Känner mig fortfarande lite vilsen...

Förstår inte vad 600 står för? Om 60 är de olika resultat som kan fås och 3600 är alla möjliga utfall.

KriAno skrev:
Känner mig fortfarande lite vilsen...
Förstår inte vad 600 står för? Om 60 är de olika resultat som kan fås och 3600 är alla möjliga utfall.

Jag tror som sagt att de bara har räknat fel. Som jag tolkar deras uträkning så har de räknat ut antalet sätt det kan bli ett par om vi tar hänsyn till vilka två tärningar som utgör paret men inte ordningen på övriga tärningar. Undrade de hur många distinkta yatzypar det finns så skulle de inte ha haft med faktorn 5-tag-2 (då hade svaret blivit 60), och om de undrade hur många utfall totalt som innebär ett par så behöver de byta ut (5-tag-3) mot 5*4*3 i sin uträkning (då hade svaret blivit 3600).