y  = sin x  och  y  =  sin (x + /4 )

Välkommen till Pluggakuten!

Börja med att ria upp de båda kurvorna och den nämnda punkten i ett koordinatsystem. Lägg upp bilden här. 

Smaragdalena skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Börja med att ria upp de båda kurvorna och den nämnda punkten i ett koordinatsystem. Lägg upp bilden här. 

Hej och tack.

Jag skrev in båda funktionerna i min grafräknare och kollade kordinaterna för skärningspunkterna med hjälp av "intersect". Och fick värden som x=1,17809.. och y=0,92387.. Jag antar att det finns ett bättre sätt att räkna ut det rent algebraiskt? Kommer dock inte på hur.

Förenkla uttrycket $\sin(x+\pi/4)$ genom att använda additionssatsen för sinus. Hur ser HL ut då?

WAAAAOW. Hade helt glömt de formlerna.

sin(x+π/4) får jag då till sinx*cos π/4+cosx*sin π/4

HL: sinx*cos π/4+cosx*sin π/4

Så funktionen blir således:

sinx=sinx*cos π/4+cosx*sin π/4

Blir då nästa steg at subtrahera sinx från båda leden?

Ja, så att du kan använda nollproduktmetoden.

Sådär. Nu har jag lyckats med följande:

-Skrivit om HL med additionssatsen för sinus

-Bröt ut "sinx" och körde nollproduktsmetoden.

fått ett x-värde: x=0+n*2π

Nu försöker jag få ut fler lösningar för x genom att räkna ut vad x ska vara inom parantesen.

Nu när jag har cos π/4+cosx*sin π/4 = 1 Får jag lite problem.

Värdet för sinus och cosinus för vinkeln $\pi/4$ kan du slå upp, om du inte har lät dig det utantill.

Jag har cos π/4+cosx*sin π/4 = 1

När jag sätter jag in värdet så får jag:

1/√2+x*1/√2 = 1

Har suttit och klurat på detta i ett bra tag men förstår inte vad jag ska ta mig till.

som det står just nu ser jag ingen lösning. så jag testade att subtrahera 1/√2 i båda leden.

x*1/√2 = 1-1/√2

Men det gjorde inget för mig.

Har jag möjligtvis gjort något fel tidigare?

Om du vill lösa ekvationen 1/√2+x*1/√2 = 1

Multiplicera med √2 på båda sidor. Subtrahera 1 från båda sidor. Nu är x ensamt.

Men vart tog cosinus vägen?

Nu känner jag mig dum på riktigt.

när jag har 1/√2+cosx*1/√2 = 1

När jag multiplicerar in "√2" i "1/√2" så måste man väl göra det i täljaren och nämnaren.

Då går jag ju från 1/√2+cosx*1/√2 = 1

till √2/2+cosx*1/√2 = √2

Nej nu har jag suttit och snöat in mig på denna uppgiften i allt för många timmar. Hoppas det plingar till i skallen imorgon.

Tack för svaren hittills!

 1/√2+ (cos x)/√2 = 1

1+cos x = √2

cos x = √2-1

Vet du hur du skall lösa den ekvationen?

Ja:

x=cos^-1(√2-1)

x=1,14371774

Fall 1:

x≈1,14+n*2π eller x≈ π-1,14+n*2π ->x≈2+n*2π

Fall 2:

x≈-1,14+n*2π eller x≈ π-(-1,14)+n*2π ->x≈4,3+n*2π

Eftersom intervallet är 0>x<2π så är x≈-1,14+n*2π ej intressant. men då har jag ju 3st lösningar? när det borde vara 2st? enl given information åvan.

När jag satt och fipplade med uppgiften kom jag fram till samma x-värden och tänkte direkt när jag fick x=1,14371774 att nej dehär måste vara fel.

Det verkar stämma med svaret som WolframAlpha ger.

Men eftersom intervallet är 0>x<2π så är x≈-1,14+n*2π ej intressant. men då har jag ju 3st lösningar? när det borde vara 2st? enl given information åvan.

Vilka tre lösningar hittar du?

XLeNT skrev:

Uppgiften:

Graferna till funktionerna  y  = sin x  och  y  =  sin (x + pi/4 )  skär varandra två
gånger i intervallet 0 < x < 2 .

Har du skrivit av uppgiften rätt? Det stämmer nämligen inte att kurvorna skär varandra två gånger i intervallet 0 < x < 2. De skär bara varandra en gång!

Oj, menade 4st.

samtliga lösningar:

x₁=n*2π (fås av sinx=0)

x₂≈1,14+n*2π (fås av x=cos¹(√2-1))

x₃≈2+n*2π (fås av π-1,14 )

x₄≈-1,14+n*2π (fås av att cos ger ±)

x₅≈ 4,3+n*2π (fås av π-(1,14) )

x₄ är dock negativ. och eftersom intervallet var 0>x<2π så är x₄ ej intressant.

SvanteR skrev:

XLeNT skrev:

Uppgiften:

Graferna till funktionerna  y  = sin x  och  y  =  sin (x + pi/4 )  skär varandra två
gånger i intervallet 0 < x < 2 .

Har du skrivit av uppgiften rätt? Det stämmer nämligen inte att kurvorna skär varandra två gånger i intervallet 0 < x < 2. De skär bara varandra en gång!

Nej, intervallet är 0>x<2π, inte 0>x<2. my bad.

Din lösning stämmer tyvärr inte ser jag nu. Du kan bara använda nollproduktmetoden om du har en produkt som är lika med noll! Men det har du inte. Om man använder additionsformeln blir det så här:

$$\begin{gathered} \sin x=\sin (x+\frac{\mathrm{\pi }}{4})=\sin x\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+\cos x\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \\ 0=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x-\sin x \end{gathered}$$

Men här kan du inte bryta ut sin(x), för alla termerna i HL innehåller inte sin(x). Du har termen $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x$, och ur den kan du inte bryta ut sin(x). Därför får du heller aldrig något uttryck där du kan använda nollproduktmetoden, och dina lösningar stämmer inte. Det ser du om du prövar dem i den ursprungliga ekvationen.

Jag ska rita lite och se om jag kan föreslå ett lättare sätt att lösa ekvationen.

Jag funderar faktiskt på om det kanske vore lika bra att bara räkna ut beskärningspunken med grafräknaren. Och sen köra å avståndsformeln och pyth.sats för resten av uppgiften.

Jag tycker man kan lösa sinx = sin (x + pi/4 ) genom att inse att om likheten ska gälla så måste antingen

1. x =x+pi/4  + 2npi

2. x = pi -(x+pi/4)  + 2npi (eftersom sin(a) = sin(pi-a)

ekv 1 ger inget vettigt saknar alltså lösning.

ekv 2 ger x = pi-x-pi/4 +2npi vilket förenklas till

2x = pi-pi/4 +2npi, dela med 2

=>

x = 3pi/8 +npi

n = 0, x = 3pi/8

n = 1 => x = 11pi/8

n = 2 , x = 19pi/8 utanför intervallet

Då har vi två lösningar

Edit: Dessvärre verkar det vara fel, stämmer inte med plotten, jag ser inte var jag gjort fel... Jo nu såg jag, jag har korrigerat

Om du tittar i enhetscirkeln så ser du att sin(x) och $\sin \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)$  har samma värde. Det står även i din formelsamling.

Men på bilden ser du ju att vinkeln $\mathrm{\pi }-\mathrm{x}$ är lite större än vinkeln x, och att båda har samma sinus. Men du letar ju efter vinkeln $x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, som är lite större än x och har samma sinus. Och då måste det ju vara så att $\mathrm{\pi }-\mathrm{x}$ och $x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ är samma vinkel!

Därmed kan du ställa upp ekvationen:

$\mathrm{\pi }-\mathrm{x}=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Lös den så har du första lösningen. Sedan kan du leta upp den "spegelvända" vinkeln i tredje kvadranten för att få den andra lösningen. Fråga igen om detta inte räcker! 

Tack allihop!

Jag har samma uppgift och tappar bort mig vid nollproduktsmetoden.. För då tar ni ut sinus X utanför parantesen vilket är helt rimligt, lämnar kvar sinus innaför parantesen också? varför får ett sinus vara kvar inne i parantesen? för då blir de inte samma tal ?!

philipk skrev:

Jag har samma uppgift och tappar bort mig vid nollproduktsmetoden.. För då tar ni ut sinus X utanför parantesen vilket är helt rimligt, lämnar kvar sinus innaför parantesen också? varför får ett sinus vara kvar inne i parantesen? för då blir de inte samma tal ?!

Gör en egen tråd i stället för att uppväcka en gammal zombie-tråd! Visa hur långt du har kommit (vilket du antyder här).