y'= ky

Hej!

En morgon fann Anna 48 sniglar i sin trädgård. En vecka senare hade antalet ökat till 64 . Antag att ökningstakten är proportionell mot antalet sniglar.

a) Ange en differentialekvation som beskriver ökningstakten i antalet sniglar. Låt y vara antalet sniglar efter t veckor.

Mitt försök:

y'=ky

Vi vet att det ökar till 64, alltså bör k vara 64/48= 1,333333...

y'=1.33y

Varför är det fel?

$y^{'} = k y \frac{d y}{d t} = k y \frac{d y}{y} = k d t t a i n t e g r a l f r å n b å d a l e d e n \int \frac{d y}{y} = \int k d t \ln y = k t + C_{1} \Rightarrow y = C e^{k t} o m t = 0 d å y = 48 s å a t t 48 = C e^{k 0} = C o m t = 1 d å y = 64 s å a t t 64 = 48 e^{k \times 1} \Rightarrow k = \ln (\frac{64}{48}) = 0, 29 S v a r e t : y = 48 e^{0, 29 t} S v a r e t :$

Jag förstår inte vad du gör just nu, min bok använder inte denna metod. Kan du visa på "den vanliga" metoden?

Tyvärr har jag inte ännu kommit på lättare metod än jag svarat.

Någon annan som kan hjälpa? Min bok har inte nämnt det här med integraler på båda sidorna och då känns det svårt att förstå det alireza skrev, jag uppskattar dock hjälpen!

Enligt t.ex www.formelsamlingen.se har alla homogena differentialekvationer $y' + a y = 0$ lösningen $y = C e^{- a x}$

Se vad som står i din formelsamling. Eller vad som står i den formelsamling som du får använda på proven. Du kanske inte behöver härleda/förstå var det kommer ifrån, bara använda det.

Men det är såklart bra om du förstår var det kommer ifrån ...

Visst står det någonstans i din bok att om funktionens derivata är proportionell mot funktionsvärdet så handlar det om en exponentialfunktion?

Svara

Visa senaste svar