Y=f(x) avgör om det stämmer

Det enda du kan utläsa av den givna grafen är hur grafen till f(x) lutar, du kan inte utläsa vilken höjd grafen till f(x) befinner sig på.

Vad förstaderivatan och andraderivatan har för värde vid x = 2 säger ingenting om vad f(2) har för värde.

=====

Om vi t.ex. säger att $f'(x)=2x-x^2$ så vet vi att $f(x)=x^2-\frac{x^3}{3}+C$, där $C$ är en konstant som bestämmer vilken höjd grafen till $f(x)$ befinner sig på.

Der finns ingen möjlighet för oss att enbart med den i uppgiften givna informationen bestämma vilket värde $C$ har.

Om till exempel $C=-4$ så är $f(2)=4-\frac{8}{3}-4=-\frac{8}{4}$, vilket är mindre än $0$.

=======

Påstående a är inte alltid falskt, men det är inte heller alltid sant.

Men hur ska man tänka i den här uppgiften? dvs hur ska man tänka i de olika alternativen

Hur skulle en ungefärlig skiss av funktionen f(x) se ut? 
Är det här en rätt skiss?

Är lite osäker här 

f(2)  är ju positivt? För den ligger ovanför x axeln? 
f(2)-f(0) är också positiv. 

Katarina149 skrev:

Hur skulle en ungefärlig skiss av funktionen f(x) se ut? 

Du kan göra en teckentabell som du har gjort flera gånger tidigare.

Men här gäller det att du inte har någon aning om hur derivatan f'(x) ser ut då x < 0 och då x > 2. Och därmed har du inte heller någon aning om vad funktionen f(x) har för lutning där.

Du får nog se det som att definitionsmängden till f(x) är $0\leq x\leq2$.

Men det går ändå utmärkt att göra en teckentabell.

Funkar mitt resonemang som jag gjort ovan? Jag har skissat funktionsgrafen utifrån derivata grafen , hur kan man göra en teckentabell utifrån en derivata graf? Ska det vara då x, f’(x) och f”(x) med i teckentabellen?

Din skiss stämmer inte.

Jag ser inget resonemang, bara svar (som är rätt).

Gör en teckentabell som vanligt:

• Översta raden: Relevanta x-värden.
• Rad två: f'(x) med tecken. Välj mellan  +, 0 och -.
• Rad tre: f(x) med pilar som visar lutningen. Välj mellan pil upp, horisontell pil, pil ner.

jag vet inte hur jag ska göra teckentabellen. Kan jag få hjälp med det? Min teckentabell blev helt fel 

 Jag vill gärna förstå hur man ska tänka när man ska skissa teckentabell och sedan hur man ritar grafen.

x = -1 ingår inte i definitionsmängden.

De x-värden du ska använda är 0, någon punkt mellan 0 och 2 samt 2.

Välj till exempel

• x = 0. Från den givna grafen kan du utläsa att f'(0) = 0. Alltså ska det stå 0 här på raden för f'(x) och det ska vara en horisontell pil här på raden för f(x).
• x = 1. Från den givna grafen kan du utläsa att f'(1) > 0. Alltså ska det stå + här på raden för f'(x) och det ska vara en uppåtpil här på raden för f(x).
• x = 2. Från den givna grafen kan du utläsa att f'(2) = 0. Alltså ska det stå 0 här på raden för f'(x) och det ska vara en horisontell pil här på raden för f(x).

Hur vet man att f’(0)=0?

och f’(2)=0?

vi vet att f’(1)>0 

Det kan du direkt utläsa av grafen (inringat med rött).

Okej. Alltså har derivatans nollställen alltid derivatan 0. Är min teckentabell korrekt utritar? Hur kan jag skissa grafen?

Jag är isäker på vad du menar med att nollställen har derivatan 0. Men det stämmer en funktion har derivatan 0 där funktionens derivata har nollställen.

Ja, din teckentabell är rätt.

Du kan rita grafen så här:

Börja vid x = 0 på valfri punkt på y-axeln. Välj till exempel punkten (0,2) som startpunkt.

Rita nu en graf åt höger.

Grafen ska inleda med lutning 0 men sedan ska lutningen stadigt öka fram till x = 1, där lutningen ska vara som störst.

Till höger om x = 1 så avtar lutningen igen (men den är hela tiden positiv) fram till x = 2, där grafen avslutas med lutningen 0.

Kan du förtydliga vad du menar här 

”

Rita nu en graf åt höger.

Grafen ska inleda med lutning 0 men sedan ska lutningen stadigt öka fram till x = 1, där lutningen ska vara som störst.”

jag har markerat en punkt på y axeln 

Exempel:

Okej. Funktionen har derivatan/lutningen noll då x=0 . Därefter ökar lutningen då x=1 och lutningen blir återigen noll då x=2?

Ja, det är det som grafen i uppgiften säger oss.

Att lutningen är 0 vid x = 0, att den hela tiden ökar fram till x = 1 där den är som störst och att den sedan avtar ner mot 0 igen vid x = 2.

Okej nu har jag skissat grafen.  Vi kan börja undersöka de olika påståenden. 

(A) Varför är påstående A fel? f(2) är ju positivt enligt min graf ovan?

Katarina149 skrev:

(A) Varför är påstående A fel? f(2) är ju positivt enligt min graf ovan?

Enligt den graf du har ritat ja, men vad händer om du istället börjar i punkten (0, -76) occh slutar i punkten (2, -12)?

====

(Du bör sätta ut skalstreck och värden på x-axeln.)

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

(A) Varför är påstående A fel? f(2) är ju positivt enligt min graf ovan?

I din graf ja, men vad händer om du börjar i punkten (0, -10000000000000000)?

====

(Du bör sätta ut skalstreck och värden på x-axeln.)

Hur skulle grafen isåfall ha sett ut om grafen började vid exempelvis (0,-100000000)?förklara gärna med bilder

Katarina149 skrev:

Hur skulle grafen isåfall ha sett ut om grafen började vid exempelvis (0,-100000000)?förklara gärna med bilder

Likadan, men förskjuten i negativ y-led.

Dvs som på den blåa linjen?

Just det.

f(2)-f(0) är alltid positivt oavsett värdet på x

Det stämmer, eftersom f'(x) > 0 överallt i intervallet 0 < x < 2.

Grafen strävar alltså där hela tiden uppåt, den vänder aldrig neråt igen.

spelar det någon roll vart man ritar y värdet i funktionen?

Pröva!