y' = ex(y+y2) som uppfyller y(1) = 1

Frågan: Bestäm den lösning till differentialekvationen y' = e^x(y+y²) som uppfyller y(1) = 1

Jag förstår inte hur man löser denna uppgift även med svaret. Vore tacksam om någon kan förtydliga stegen markerade som (*) där jag inte hänger med.

1) Först noterar jag att det är en separabel DE och dividerar bägge sidor med (y+y²) och integrerar. 

2) För att kunna bestämma primitiv funktion partialbråkuppdelar jag integranden och som ger log(y) - log(1+y) (1)

(*) Men här står det att man kan skriva om (1) som log $\left|y\right|/\left|1+y\right|=e^x+C$ (2)

Om vi sätter in villkoret får  vi C = log(1/2)-e  vilket jag hänger med på.

Jag förstår inte hur man skriver om (1) till (2)?

3) Det står sedan att (2) är ekvivalent med $\frac{\left|y\right|}{\left|1+y\right|}=e^{e^x+C}$

Jag förstår det som att vi logaritmerar på båda led.

(*)Vi antar att y är positiv (vilket i alla fall stämmer lokalt kring x = 1 på grund av

begynnelsevärdet) som ger oss:

$y=(1-e^{e^x+C})=e^{e^x+C}$(3)

Vilket tillsammans ger oss:

$y\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{e^x+e}}{1-\frac{1}{2}{e}^{e^x+e}}$(4)

Jag förstår inte hur vi får(3)?  

Tack på förhand!