Algebraiska uttryck y^5 - 45y = 90

Till att börja med: Du bör skriva dubbelpilar istället för likhetstecken mellan ekvationerna, se blåmarkerat i bild.

Dubbelpilar betyder "Medför".

==========

Om uppgiften är att lösa ekvationerna så bör man stanna efter faktorisering av första ekvationen till:

Sedan kan man använda nollproduktmetoden för att komma fram till att lösningarna är y = 0, y = 6 och y = -6 eftersom respektive faktor då får värdet 0. 

=========

Varifrån kommer den andra ekvationen?

Det är en femtegradsekvation med konstantterm som inte låter sig lösas så lätt.

En kommentar är att du inte riktigt fått till konjugatregeln i det här steget (blåmarkerat hur det istället borde vara).

Men, som sagt, den ekvationen är svår att lösa.

Skall vara plus i ena och minus i andra.

y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) = 90

Analys skrev:

Skall vara plus i ena och minus i andra.

y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) = 90

Ja, som jag skrev i mitt förra svar (och dessutom $\sqrt{5}$).

Yngve skrev:

Analys skrev:

Skall vara plus i ena och minus i andra.

y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) = 90

Ja, som jag skrev i mitt förra svar (och dessutom $\sqrt{5}$).

Tack för svar!

Bara för att dubbelkolla. Det skall vara roten på 5 eftersom 5x5 = 5^2 och i förenklingen innan fanns bara 1 femma så vi måste alltså skriva roten 5 för att det skall vara rätt om vi bryter ut till konjugatregel?

Analys skrev:

Skall vara plus i ena och minus i andra.

y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) = 90

Tack för svar!

Så den skall skrivas y(y^2 - 3 x √5)(y^2 + 3 x √5) = 90

Ser inte riktigt varför det skall skrivas + eftersom jag vet att man skall byta tecken om det finns en exponent ovanför potensen i konjugatregel med - i parantesen.

Är det för att jag förenklade uttrycket y(y^4 - 3^2 x 5) = 90 till konjugatregeln?

Förresten hur förenklar man något som det där till konjugat regeln. Allt jag gjorde var egentligen att bara dividera med 2 inom parantesen och bryta ut till en annan parantes?

Jag menar man kunde säkert likaväl tänka att man kan bryta ut till en utav kvadreringsreglerna? Eller hur ser man att man inte kan bryta till kvadreringsregler på denna förenkling är väl också något bra att fundera över

Det är lite svårt för mig ibland att se vilken utav uttrycken i uppgiften man skall kunna förenkla eller multiplicera till en utav dem 3 reglerna, konjugat och kvadreringsreglerna

En kommentar är att du inte riktigt fått till konjugatregeln i det här steget (blåmarkerat hur det istället borde vara).

 

Ja jag ser det nu! Tack

Men jag ser också att jag gjorde Andra kvadreringsregeln istället. Hur vet jag i framtiden att det inte skall vara andra kvadrerings regeln (a-b)^2 och enbart konjugat regeln?

Allt jag gjorde var att dela y(y^4 - 3^2 x 5) = 90 med 2 = y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) 90

Men jag ser nu att man inte riktigt kan dela 3^2 med 2 eftersom det inte är 6 men 3^2 = 9/2 = 4.5

Här kommer svar på ett par av dina frågor.

Första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln och konjugatregeln är väldigt lika varandra. De skiljer sig endast åt avseende formen enligt följande:

• (a+b)(a+b): Första kvadreringsregeln.
• (a-b)(a-b): Andra kvadreringsregeln.
• (a+b)(a-b): Konjugatregeln.

Som du ser har vi två parenteser som multipliceras med varandra i alla tre fallen. I varje oarentes är det två termer a och b.

Det enda som skiljer är ifall det är

• plustecken mellan termerna i båda parenteserna.
• minustecken mellan termerna i båda parenteserna.
• plustecken mellan termerna i ena och minustecken mellan termerna i andra parentesen.

ChristopherH skrev:

Men jag ser också att jag gjorde Andra kvadreringsregeln istället. Hur vet jag i framtiden att det inte skall vara andra kvadrerings regeln (a-b)^2 och enbart konjugat regeln?

Se tidigare svar. Om mönstret är

• a²-b² så passar konjugatregeln

• (a-b)² så passar andra kvadreringsregeln

Allt jag gjorde var att dela y(y^4 - 3^2 x 5) = 90 med 2 = y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) 90

Om du delar $y(y^4- 3^2\cdot5) = 90$ med 2 får du $\frac{y(y^4-3^2\cdot5)}{2}=45$ och inte det du skriver.

Yngve skrev:

ChristopherH skrev:

Men jag ser också att jag gjorde Andra kvadreringsregeln istället. Hur vet jag i framtiden att det inte skall vara andra kvadrerings regeln (a-b)^2 och enbart konjugat regeln?

Se tidigare svar. Om mönstret är

• a²-b² så passar konjugatregeln

• (a-b)² så passar andra kvadreringsregeln

Allt jag gjorde var att dela y(y^4 - 3^2 x 5) = 90 med 2 = y(y^2 - 3 x 5)(y^2 - 3 x 5) 90

Om du delar $y(y^4- 3^2\cdot5) = 90$ med 2 får du $\frac{y(y^4-3^2\cdot5)}{2}=45$ och inte det du skriver.

Menar bara på vänsterled då man faktoriserar y^4 ut så y^2 gånger varandra och 3 varandra = potens^4 och 2 så att den förenklas ut till 2 olika faktorer. Vilket jag nu förstår är användbart för att se vilken ut av reglerna den gäller. Annars är det väldigt svårt att se om man inte har 3 eller 2 termer med addition och subtraktion enbart och därför förenklar man eller faktoriserar intills man kan det. Men då antar jag att man måste vara förbered att alla termer i en större ekvation inte tillhör en av reglerna

ChristopherH skrev:

Menar bara på vänsterled då man faktoriserar y^4 ut så y^2 gånger varandra och 3 varandra = potens^4 och 2 så att den förenklas ut till 2 olika faktorer. Vilket jag nu förstår är användbart för att se vilken ut av reglerna den gäller.

Vi kan gå igenom steg för steg hur man kan faktorisera vänsterledet så att du är säker på tankegången. Vi börjar med

$y^5-45y$

Om vi bryter ut $y$ får vi

$y(y^4-45)$

Vi kan skriva om termerna innanför parentesen som kvadrater:

$y((y^2)^2-(\sqrt{45})^2)$

Vi ser nu att det som står innanför parentesen passar formen $a^2-b^2$, och vi kan därför använda konjugatregeln "baklänges" och få:

$y((y^2-\sqrt{45})(y^2+\sqrt{45}))$.

Hängde du med på det?

Men eftersom det inte står 0 i högerledet så kan vi inte använda nollproduktmetoden och vi kommer därför inte vidare framåt här.

Därav min fråga var ekvationen kommer ifrån? Den är nämligen inte så lätt att lösa.

Men då antar jag att man måste vara förbered att alla termer i en större ekvation inte tillhör en av rereglerna

Det stämmer.

Därav min fråga var ekvationen kommer ifrån? Den är nämligen inte så lätt att lösa

Ja det verkar som att man inte kan dra roten ur 45 så lätt. Skulle den gå att lösa om konstantterm ändras till t.ex 9?

Det verkar som överkurs ändå, kollat upp lite om att möjligtvis enda sättet att beräkna det är att använda newton - raphson 

Vi ska gå genom polonymial av femte grad i min kurs däremot enligt läraren, så jag ville gärna lära mig detta, men nu är jag väldigt frustrerad om vad jag ska lära mig.

ChristopherH skrev:

Ja det verkar som att man inte kan dra roten ur 45 så lätt.

Jodå, $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$

Skulle den gå att lösa om konstantterm ändras till t.ex 9?

Nej, men om högerledet vore lika med 0 så skulle du kunna använda nollproduktmetoden direkt efter steget

$y(y-3\sqrt{5})(y+3\sqrt{5})=0$

vilket direkt skulle ge löningarna

$y_1=0$

$y_2=3\sqrt{5}$

$y_3=-3\sqrt{5}$

Det verkar som överkurs ändå, kollat upp lite om att möjligtvis enda sättet att beräkna det är att använda newton - raphson 

Ja, en numerisk metod som t.ex. Newton-Raphson fungerar bra för att hitta närmevärden till lösningarna. Det finns även andra numeriska metoder som kan användas.

Vi ska gå genom polonymial av femte grad i min kurs däremot enligt läraren, så jag ville gärna lära mig detta, men nu är jag väldigt frustrerad om vad jag ska lära mig.

Du har redan lärt dig en del om detta.

Till exempel att det inte finns någon algebraisk metod att lösa generella femtegradsekvationer.

Tack så mycket för dem tydliga förklaringar och att du steg för steg visar problemet. 
Jag förstår allt nu, och om att dessa numeriska lösningarna är överkurs är bra att veta.