y’’’’-16y=2

Kan du lösa någon av de liknande ekvationerna?

y' - 16y = 2

y'' - 16y = 2

y''' - 16y = 2

Strategier från dem kanske kan användas på det här problemet. 

Det svåra är väl att finna den homogena lösningen, d.v.s. lösningen till $y^{(4)}-16y=0$ (att gissa en partikulärlösning är inte särskilt svårt).

Om man låter $D$ beteckna differentieringsoperatorn (d.v.s. $Dy$ betyder derivatan av $y$ och $D^2y$ betyder andraderivatan av $y$) kan man skriva differentialekvationen som:

$(D^4-16)y=0$

Detta kan sedan faktoriseras som:

$(D^2+1)(D^2-1)y=0$

Och med nollproduktmetoden inser man då att det räcker med att endast en av dessa parenteser är noll. Då kan vi lösa två differentialekvationer av andra ordningen vars lösningar tillsammans utgör lösningarna till ekvationen av fjärde ordningen:

$(D^2+1)y=0$, d.v.s. $y''+y=0$

och

$(D^2-1)y=0$, d.v.s. $y''-y=0$

Sådana här differentialekvationer antar jag att du är någorlunda bekant med hur man löser.

Tack för hjälpen!

Vad jag inte förstår är dock hur du kan faktorisera (D^4-16)y=0 till (D^2+1)(D^2-1)y=0. Vart försvinner 16?

Wops. Jag ser nu att jag slarvade. Det skall stå $D^2+4$ och $D^2-4$, men annars stämmer det. Det faktoriseras med hjälp av konjugatregeln.