XYZ HT 2012 PP 3 Uppgift 3

Om du sorterar $10$ tal i storleksordning så är medianen:

Om antalet tal är udda: Det tal som är i mitten.

Om antalet tal är jämnt: Medelvärdet av de två mittersta talen.

Vi har följande tal:

$X_1, X_2, X_3, X_4, X_5, X_6, X_7, X_8, X_9, X_{10}$

Medelvärdet av $X_5$ och $X_6$ är $100$.

Minst två tal är lika med $100$, detta måste vara $X_5$ och $X_6$. Varför?

Om $X_6$ är större än $100$, så måste $X_5$ vara mindre än $100$, och inget tal är lika med $100$. 

pi-streck=en-halv skrev :

 

Minst två tal är lika med $100$, detta måste vara $X_5$ och $X_6$. Varför?

Om $X_6$ är större än $100$, så måste $X_5$ vara mindre än $100$, och inget tal är lika med $100$. 

Okej, men hur vet man med säkerhet att X5 och X6 är lika med 100 varsin? Medelvärdet av X5 och X6 kan vara att de är 99 och 101 varsin, eller 102 och 98, så varför skulle dessa tal vara lika med 100?

Om X6 är större än 100, så måste X5 vara mindre än 100, och inget tal är lika med 100.

Jag förstår inte det här, skriver du att X6 är större än 100 under premissen att (X5 + X6)/2 = 100 är sant? Behöver lite mer utförlig förklaring här snälla..

Vi antar att följande är sant:

(0). $X_1 \leq X_2 \leq ... \leq X_{10}$

(1). $\frac{X_5+X_6}{2} = 100$

(2). $X_6 > 100$

Konsekvenser:

(a). Utifrån (0), (1), och (2) får vi att $X_5 < 100$. 

(b) Utifrån (a), (0), (2) får vi att inget tal är lika med 100.

Slutsats:

Antagande (2) leder till att inget tal är lika med $100$.

 Så, om vi kräver att det ska finnas tal som är lika med 100, så måste $X_5$ och $X_6$ vara lika med $100$.

pi-streck=en-halv skrev :

Vi antar att följande är sant:

(0). $X_1 \leq X_2 \leq ... \leq X_{10}$

(1). $\frac{X_5+X_6}{2} = 100$

(2). $X_6 > 100$

Konsekvenser:

(a). Utifrån (0), (1), och (2) får vi att $X_5 < 100$. 

(b) Utifrån (a), (0), (2) får vi att inget tal är lika med 100.

Slutsats:

Antagande (2) leder till att inget tal är lika med $100$.

 Så, om vi kräver att det ska finnas tal som är lika med 100, så måste $X_5$ och $X_6$ vara lika med $100$.

Jag förstår fortfarande inte hur X6 > 100 och X5 < 100? Typvärdet är 100 vilket innebär att minst 2 mätvärden är lika med 100? 

Så, om vi kräver att det ska finnas tal som är lika med 100, så måste X5 och X6 vara lika med 100.

Varför måste X5 och X6 vara lika med 100? Var detta under förutsättning att X1<X2<X3<X4<X5<X6<X7<X8<X9<X10?

Det kanske var otydligt.

Men, OM vi antar att $X_6 > 100$ så måste $X_5<100$ för att medelvärdet (av $X_5$ och $X_6$) ska bli $100$. 

Men, eftersom vi har ytterligare ett krav, att typvärdet är $100$, så är antagandet att $X_6 > 100$ fel.

Vi måste därför dra slutsatsen att $X_6 = 100$.

En median fås genom att storleksordna de givna värdena och ta det mittersta. I detta fall är medianen av mätvärdena lika med medelvärdet av mätvärde fem och sex. Antingen måste ett av värdena vara större än hundra, och det andra mindre, exempelvis 97 och 103, eller måste båda vara lika med 100. Om vi har att ett värde är 100, och det andra något annat, blir inte medelvärdet lika med 100.

Vår lista var från början storleksordnad för att vi skulle kunna få ut medianen. Eftersom vi vet att typvärdet är 100, måste det finnas minst två stycken mätvärden som är lika med etthundra. Om vår  median inte är medelvärdet av 100 + 100, utan av exempelvis 97 och 103, skulle vi inte kunna ha några mätvärden lika med 100, eftersom de borde ligga mitt emellan värde fem och sex. Men vi har fortfarande ett typvärde som är lika med 100, och för att det ska kunna finnas måste minst två 100-värden finnas. Därför kan vi dra slutsatsen att mätvärde fem och sex båda är lika med 100. Mätvärde sju, åtta, nio och tio måste vara större än eller lika med 100, och då är mer än hälften av mätvärdena 100 eller högre.

Smutstvätt skrev :

Om vår median inte är medelvärdet av 100 + 100, utan av exempelvis 97 och 103, skulle vi inte kunna ha några mätvärden lika med 100, eftersom de borde ligga mitt emellan värde fem och sex.

Kan du göra ett exempel av detta? Förstår fortfarande inte så bra..

97+103/2 = 100.

Säger detta då att vi har INGA mätvärden som är lika med 100? 

Edit: Om jag förstår det rätt.. 

$$\begin{gathered} 93+94+95+96+97+103+104+105+106 är tio mätvärden. \\ \frac{97+103}{2}= 100 \end{gathered}$$

Försök skapa en lista med tio (storleksordnade) tal där medianen är $100$, och typvärdet är $100$ utan att de två mittersta talen är $100$.

Det går inte. Om vi istället gör det med $4$ tal.

Ett exempel på en lista som är okej:

$90, 100, 100, 100$

Ett exempel på en lista som inte är okej:

$90, 97, 103, 103$.

De måste vara i storleksordning. Det går inte att klämma in en hundring nånstans där, om inte de två mittersta värdena båda är $100$.

pi-streck=en-halv skrev :

 

Ett exempel på en lista som är okej:

$90, 100, 100, 100$

 

Det blir svårt med att ha 100 en median som är 100 om man utgår ifrån den listan du skrev... hur tänkte du?

Vad är medianen för den listan, tänker du?

pi-streck=en-halv skrev :

Vad är medianen för den listan, tänker du?

Eftersom storleksordningen var som du skrev:

90, 100,100,100, 101(mittvärde),102(mittvärde), 103, 104, 105, 106

101+102/2 blir inte 100 i median.

Detta skulle dock kunna funka eller hur?

95+96+97+98+100+100+101+102+103+104 är tio mätvärden.

100/2= 100

Alltså kan man se att fyra mätvärden>100

Fyra mätvärden<100

Därför är svar C sant?

Du kan se att $6$ av $10$ mätvärden är större än, eller lika med, $100$.

$6$ av $10$ är fler än hälften. Därför är $C$ rätt.

Ah, okay, du missförstod nog min lista. Jag menade att listan bara skulle bestå av $4$ mätvärden. Så de fyra talen $90, 100, 100, 100$ har median $(100+100)/2 = 100$ och typvärde $100$.

pi-streck=en-halv skrev :

Du kan se att $6$ av $10$ mätvärden är större än, eller lika med, $100$.

$6$ av $10$ är fler än hälften. Därför är $C$ rätt.

Ah, okay, du missförstod nog min lista. Jag menade att listan bara skulle bestå av $4$ mätvärden. Så de fyra talen $90, 100, 100, 100$ har median $(100+100)/2 = 100$ och typvärde $100$.

Okej tack.