Weierstrass sats - ”Extreme value theorem”

Vad gör man när Weierstrass inte är applicerbar?

$\underset{a\to 0}{\lim }\underset{b\to \infty }{\lim }{\int }_a^b\ln \left(x\right)dx$

In calculus, the extreme value theorem states that if a real-valued function f is continuous on the closed interval [a,b], then f must attain a maximum and a minimum, each at least once. That is, there exist numbers c and d in [a,b] such that:

$f\left(c\right)\ge f\left(x\right)\ge f\left(d\right), for all x in [a,b]$

Men...

Säg att är som sådan att: 

f:(0,inf) —> (-inf, inf) för den naturliga logaritmen. Enligt bilden ovan. Måste vara ett stängt intervall, 0 och inf är ej stängda, funktionen är ej definierad i dessa punkter så detta är ett fall weierstrass sats inte tar upp. Han uttalar sig om stänga intervall. I och med att definitionsmängden för ln(x) är ett öppet intervall så kan inte hans sats appliceras på funktionen hela defintionsmängd, möjligtvis om man analyserar ett delintervall, som är stängt. I ett öppet intervall finns ingen garanti för max (extrem) punkter. Men vad kan man i så fall påstå om randpunkter, öppet intervall?

Kan man påstå att det finns ett max (extrempunkt) i intervallet?

En idè jag har är att man inte riktigt vet utan får undersöka, testa och stoppa in randpunkten i funktionen, fås ett värde? Om värdet hos randpunkterna är mindre än det största inom intervallet kan man exempelvis säga att max existerar mellan randpunkterna.

Om värdet som fås av funktionen efter insättning är odefinerat, exempelvis, ln(0) så kan man kolla gränsvärdet vid den punkten för funktionen för att ta reda på vara som händer, den går mot minus oändligheten och har därför inget minsta värde, och detsamma för positiva oändligheten.

Alltså, vad gör man när weierstrass sats inte är applicerbar?

Är detta påstående sant: ”Om Weierstrass sats inte är applicerbar så kan högsta ett extremvärde existera”?

Min analys: Verkar inte som det, eftersom, jag kan tänka mig en funktion som nära randpunkterna kan röra sig som en sinusfunktion, inte gå mot oändligheten i y led, men endast analyseras i ett öppet intervall, varefter vi mellan dessa punkter kan ha i princip typ hur många lokala extremvärden som helst. Men om man inte får välja definitionsmängd som man vill analysera utan endast kolla på den givna av funktionen själv i fråga så verkar påståndet ovan vara sant, i och med att vi kan ha ett halvöppet intervall, stängt vid ena sidan, med ett max i det, sen bara en funktion som går mot, säg minus oändligheten vid x=c.