Volymökning

Innan vi fortsätter vire det bra för oss att veta vad du känner till om volymberäkning av rotationskroppar med hjälp av integraler.

Vi pratar då om något som kallas "skivmetoden" och "skalmetoden".

Låter detta bekant eller är det helt nytt för dig?

Det är helt nytt för mig

Då blir det svårt att lösa uppgiften.

Varifrån har du hämtat den?

Den uppgiften känner jag igen - den kommer från ett gammalt (frisläppt, tror jag) nationellt prov.

Till Julialarsson1: Bry dig inte om att försöka med den här uppgiften förrän du har lärt dig beräkna volymen av rotationskroppar.

Jag pluggar inför nationella provet som jag snart ska skriva och hittade denna bland övningsuppgifterna. 

jag har läst på lite om detta nu och jag antar att jag ska använda volymformeln V=(4pir^3)/3?

r lär ju då vara längden/2- ska det då vara 12 eller 1 som jag ska dela? 12 är ju själva burkens längd men det är ju samtidigt utbuktningen jag ska räkna ut.

Inser att det såklart är 12. Stämmer detta? Det är ju en utbuktning på 2 ställen. Och nu ska jag räkna ut burkens volym och ta det. Minus detta?

Nej, formeln $V=\frac{4\pi r^3}{3}$ gäller volymen av ett klot.

Men burkens utbuktning har inte sfärisk form, den är istället paraboloidformad.

Du måste använda integralberäkning med hjälp av skiv- eller skalmetoden för att lösa uppgiften.

Denna? Och sätter jag in funktionen såhär?

När det gäller volymberäkning av rotationskroppar är det i stort sett aldrig så enkelt att man bara tar en formel och använder den. Man måste verkligen förstå vad det är man gör och varför.

Steg 1: Börja med att lägga in ett x/y-koordinatsystem på lämpligt ställe och bestäm sedan konstanterna a, b och c.

Tips:

Steg 2: Leta i din bok eller på Youtube efter "rotationskroppar" och/eller "skivmetoden" för att få ett hum om vad det handlar om.

Steg 3: Försök att tillämpa på din uppgift. Fråga oss om du kör fast.

Du kan även kika här för att få inspiration.

Julialarsson321 skrev:

Denna? Och sätter jag in funktionen såhär?

Det är formeln för skalmetoden, och den lär du dig i matte 5. Jag hade hellre använt mig av skivmetoden eftersom det är den man lär sig i matte 4. Yngve ger dig bra tips som jag tycker att du borde följa. 

Såhär har jag ritat, stämmer det? Och kan jag se a, b och c i koordinatsystemet? Jag förstår inte vad de betyder

Ja, det stämmer.

1. Är du med på att den del jag har blåmarkerat nedan är en del av en parabel, dvs grafen till en andragradsfunktion?
2. Är du med på att alla andragradsfunktioner kan skrivas på formen f(x) = ax²+bx+c, där.a, b och c är konstanter?
3. Är du med på att du kan bestämma värdet på a, b och c om du har koordinaterna för tre punkter på parabeln?

Om du svarade ja på alla tre frågor så kan du bestämma a, b och c för den parabel som är blåmarkerad.

Jag förstår 1 och 2. Men jag förstår inte vilka punkter som är a,b och c. Vad är parabeln?

Den blå parabeln går genom punkterna (-6,0), (0,1) och (6,0).

Julialarsson321 skrev:

Jag förstår 1 och 2. Men jag förstår inte vilka punkter som är a,b och c. Vad är parabeln?

Grafen till en andragradsfunktion kallas parabel, Jag har blåmarkerat parabeln i mitt förra svar.

Läs det här avsnittet. Nere mot slutet står det hur du kan bestämna a, b och c från tre punkter på en parabel (se gulmarkerat).

Fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

==========================

Såhär? Och hur gör jag för att lösa ut a och b?

Såhär? Blir osäker då de är negativa och ej heltal

Två av de punkter du har valt ligger inte på grafen till andragradsfunktionen, dvs inte på parabeln.

Se bild, jag har markerat parabeln med blått.

Välj istället punkterna (-6,0), (0,1) och (6,0).

Jag får samma svar?

Hur får du (-6)² och 6² att bli 12?

Jag tänker att -6 * -6 blir + 

men ser nu att jag råkat tänka 6*2

det blir alltså 36?

Ja

Så a blir -1/36 = -0,03?

Ja, fast avrunda inte. Behåll det som ett bråktal, dvs a = -1/36.

Okej, då får jag den här ekvationen. Jag antar att jag nu ska räkna en integral med denna med x= 6 och x=-6?

Nej, hur får du b att bli -1/6?

Räknar du verkligen med a = -1/36 då?

Nej jag tänkte inte på att sätta in a. Såhär? Och ska jag lämna det så eller räkna ut mer?

Nej nu har du ställt upp ekvationen a+6b+1 = 0 men den finns inte med någonstans.

Istället är det ju ekvationen 36a+6b+1 = 0 du ska lösa, eller hur?

Justeee. Såhär?

Nej din ekvationslösning stämmer inte. Jag tror att du tänker "flytta" termer över till högersidan istället för att använda balansmetoden? Då är det lätt hänt att det blir fel.

Jag visar hur du kan tänka:

Ekvationen är

36•(-1/36)+6b+1 = 0 

Multiplicera ihop den första termens faktorer:

-36/36+6b+1 = 0

Förenkla:

-1+6b+1 = 0

Förenkla:

6b = 0

Dividera båda sidor med 6:

6b/6 = 0/6

Förenkla:

b = 0

Hängde du med?

Om ja: Kontrollera nu att dessa värden verkligen stämmer, dvs att a = -1/36, b = 0 och c = 1 ger dig just de tre givna punkterna på parabeln, dvs att följande tre ekvationer då är uppfyllda:

• (-6)²•a-6•b+c = 0
• 0²•a+0•b+c = 1
• 6²•a+6•b+c = 0

Nu fattar jag. Jag får det att stämma. Är detta den funktionen jag ska använda för att räkna integralen?

Ja, nu har du hittat rätt funktion.

Nästa steg är att bestämma volymen under det utbuktade locket.

Gå då tillbaka och läs svar #11 och #12 i denna tråd.

Alltså såhär?

Nej det stämmer inte.

Jag förutsätter nu att du har läst igenom så att du har lite koll på åtminstone en av följande metoder:

• Om du väljer skivmetoden: Hur ser en skiva ut? Vilken radie har denna (den kommer att bero på y) vilken tjocklek? Vid vilket y-värde ligger den understa skivan? Den översta skivan?
• Om du väljer skalmetoden: Hur ser ett skal ut? Vilken radie har det (den kommer att bero på x), vilken tjocklek? Vid vilket x-värde ligger det innersta skalet? Det yttersta skalet?

Du behöver rita en ny bild där du illustrerar dessa saker.

Det är ingen idé att ge sig på en volymberäkning av en rotationskropp utan att ha koll på vad det är man ska beräkna och hur.

Såhär?

Nja, du går lite vilse på vägen. Skriv om funktionen till y = 1-x²/36 innan du försöker lösa ut y.

Såhär? Har jag gjort rätt med att inte räkna med 1an?

Nej, varför skulle ettan försvinna? Utan den blir det ju en annan funktion!

Tänkte att det blev 1*36 vilket blev 36 och att 1an då försvinner. Hur ska den skrivas in?

Julialarsson321 skrev:

Tänkte att det blev 1*36 vilket blev 36 och att 1an då försvinner. Hur ska den skrivas in?

Jag tror du krånglar till det i onödan.

Använd balansering, dvs vanlig ekvationslösning, för att lösa ut x² ur sambandet $y=-\frac{1}{36}x^2+1$:

Börja med att addera $\frac{1}{36}x^2$ till båda sidor:

$y+\frac{1}{36}x^2=1$

Multiplicera hela ekvationen med $36$:

$36y+x^2=36$

Subtrahera $36y$ från båda sidor

$x^2=36-36y$

Hängde du med?

Om nej, be om hjälp att förstå den del där du fastnade.

Om ja så kan du ersätta $x^2$ I integranden med detta uttryck.

Ja det är jag med på. Blir integralen såhär?

Integralen är korrekt, men uträkningen stämmer inte.

Kontrollera den. Det är bra att träna på att hitta sina egna räknefel.

=====

Rimlighetsbedömning: Surströmmingsburkens ursprungliga volym är $V=\pi r^2h=\pi\cdot6^2\cdot5= 180\pi$ cm³.

Det är orimligt att en av utbuktningarna skulle ha nästan 4 gånger så stor volym som ursprungsburken.

Jag har dyskalkuli så just att räkna ihop siffror och se räknefel har jag väldigt svårt för. Är det redan vid den primitiva funktionen som det är fel?

Nej, i slutet av första raden.

Kolla det här

Rimlighetsbedömning 2: Din integral skulle få värdet $-612\pi$, vilket skulle innebära en negativ volym.

Julialarsson321 skrev:

Jag har dyskalkuli så just att räkna ihop siffror och se räknefel har jag väldigt svårt för.

Jättebra att du säger det. Då hoppas jag att vi kommer att vara mer tålmodiga med eventuella räknefel.

Jag tror att jag har hittat felet nu samt förstått resten! Stämmer detta eller har det blivit något fel där med?

Julialarsson321 skrev:

Jag tror att jag har hittat felet nu samt förstått resten! Stämmer detta eller har det blivit något fel där med?

Nej nu stämmer allt!

Bra jobbat!

Tack så jättemycket för all hjälp! Trodde aldrig att jag skulle fatta den här uppgiften

Volymberäkning av rotationskroppar är komplicerat, så det var verkligen bra gjort av dig.