Volymen av rotationskroppen

le chat skrev:

Jag behöver hjälp med fråga b, jag misstänker att det den primitiva funktionen av (1/x)^2 som ger mig ett felaktigt svar men har efter många försök har jag ännu inte lyckats hitta lösningen.

Tack på förhand!

Har du ritat en figur så att du vet hur området ser ut?

Om ja, visa din figur. Om nej, hur kom du då fram till den integranden och de integrationsgränserna?

Yngve skrev:

Har du ritat en figur så att du vet hur området ser ut?

Om ja, visa din figur. Om nej, hur kom du då fram till den integranden och de integrationsgränserna?

  Här är min figur, hade glömt att skriva in det förenklade funktionsuttrycket på miniräknaren  så det var därför jag fick  lite annorlunda integrationsgränser. På bilden kan man se att mina integrationsgränser är -2 och 2 men eftersom ett av villkoren var att x=4. Så borde väl mina integrationsgränser vara -2 och 4.

le chat skrev:

  Här är min figur, hade glömt att skriva in det förenklade funktionsuttrycket på miniräknaren  så det var därför jag fick  lite annorlunda integrationsgränser. På bilden kan man se att mina integrationsgränser är -2 och 2 men eftersom ett av villkoren var att x=4. Så borde väl mina integrationsgränser vara -2 och 4.

Du har matat in fel samband.

Det ska vara $y=4/x$ (röd), $y=x$ (blå) och $x=4$ (grön):

Yngve skrev:

le chat skrev:

  Här är min figur, hade glömt att skriva in det förenklade funktionsuttrycket på miniräknaren  så det var därför jag fick  lite annorlunda integrationsgränser. På bilden kan man se att mina integrationsgränser är -2 och 2 men eftersom ett av villkoren var att x=4. Så borde väl mina integrationsgränser vara -2 och 4.

Du har matat in fel samband.

Det ska vara $y=4/x$ (röd), $y=x$ (blå) och $x=4$ (grön):

 Är det som ska räknas ut det skuggade området eller är det hela triangeln?

Det stämmer. Det är ju området som ringas in av kurvorna $y=4/x, y=x$ och $x=4$.

När du har kommit fram till rätt integrand och ska beräkna själva integralen så underlättar det att förenkla integranden innan du tar fram den primitiva funktionen.

Till exempel kan du förenkla $(\frac{4}{x})^2=\frac{16}{x^2}$ (som har en primitiv funktion som är $\frac{-16}{x}$). Inga logaritmer här alltså.

Utifrån mina beräkningar kan man ju se att värdet volymen lutar åt ett negativt värde och det är ju fel eftersom volymen inte kan vara negativt. Kan orsaken bakom detta vara för att jag har mina funntionsuttryck på felaktiga platser och att det rätta uttrycket är det som jag har ringat in? Dels för att y=x är överfunktion medan y= (4/x) är underfunktion.

En annan fråga är varför (16/x^(2) ) inte är en logaritmfunktion. Uttrycket kan ju skrivas som $\frac{16}{1}·(\frac{1}{x}{)}^2$ och då finns ju en logaritmfunktion med i uttrycket precis som i $\frac{4}{x} är ju samma sak som \frac{4}{1}·\frac{1}{x}$ och här finns ju också en logaritmfunktion.

le chat skrev:

 

Utifrån mina beräkningar kan man ju se att värdet volymen lutar åt ett negativt värde och det är ju fel eftersom volymen inte kan vara negativt. Kan orsaken bakom detta vara för att jag har mina funntionsuttryck på felaktiga platser och att det rätta uttrycket är det som jag har ringat in? Dels för att y=x är överfunktion medan y= (4/x) är underfunktion.

En annan fråga är varför (16/x^(2) ) inte är en logaritmfunktion. Uttrycket kan ju skrivas som $\frac{16}{1}·(\frac{1}{x}{)}^2$ och då finns ju en logaritmfunktion med i uttrycket precis som i $\frac{4}{x} är ju samma sak som \frac{4}{1}·\frac{1}{x}$ och här finns ju också en logaritmfunktion.

Orsaken till att du får fel volym är att du inte riktigt har klart för dig hur rotationskroppen ser ut och att du därför sätter upp integralen fel. 

Om du roterar det skuggade området runt x-axeln så ser du att rotationskroppen har ett hål i mitten, vilket innebär att rotationskroppen är uppbyggd av ett antal skivor som har ett hål i mitten.

Varje skiva har en yttre radie som är $x$ (från linjen $y=x$) och en inre radie (dvs hålets radie) som är $\frac{4}{x}$ (från kurvan $y=\frac{4}{x}$).

Det betyder att varje skivas area kan skrivas $A=\pi x^2-\pi (\frac{4}{x})^2=\pi (x^2-(\frac{4}{x})^2)$.

Är du med på det? Detta är viktigt att förstå.

Varje skiva har en tjocklek som är $dx$ och bidraget från alla dessa skivor summeras i form av integralen av $\pi (x^2-(\frac{4}{x})^2) dx$ från $x=2$ till $x=4$.

Det är förklaringen till att du fick en negativ volym, du hade alltså kastat om yttre och inre radie på skivorna.

Detta visar hur viktigt det är att rita en figur och göra sig en bild av hur området som roterar ser ut och därmed vilka gränser och vilken geometri som gäller för rotationskroppen.

-------

Om logaritmer:

Du skriver att "det finns en logaritmfunktion med i uttrycket" $1/x$, vilket inte stämmer. (Däremot är en $ln(x)$ en primitiv funktion till $1/x$).

Så här är det:

Ena termen i integranden är $(\frac{4}{x})^2=\frac{16}{x^2}=16\cdot \frac{1}{x^2}$. Derivatan av $\frac{1}{x}$ är lika med $\frac{-1}{x^2}$, vilket innebär att $-16\cdot \frac{1}{x}$ är en primitiv funktion till $16\cdot \frac{1}{x^2}$. Alltså ska det inte vara några logaritmer alls här.

Av ditt resonenang att döma verkar det som om du tror att om $F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)$ så gäller det att $F(x)\cdot F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)\cdot f(x)$. Men så är alltså inte fallet.

Till exempel så är en primitiv funktion till $x^2$ lika med $\frac{x^3}{3}$ som du vet. Men enligt ditt resonemang så skulle en primitiv funktion till $x^2=x\cdot x$ vara $\frac{x^2}{2}·\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{4}$, vilket naturligtvis inte stämmer.

Jag förstår inte riktigt på vilket sätt det skulle bildas ett hål när det skuggade området roterar kring x-axeln.  Jag förstår däremot varför det finns olika radie men inte varför det uppstår en yttre och en inre.

Yngve skrev:

Orsaken till att du får fel volym är att du inte riktigt har klart för dig hur rotationskroppen ser ut och att du därför sätter upp integralen fel. 

Om du roterar det skuggade området runt x-axeln så ser du att rotationskroppen har ett hål i mitten, vilket innebär att rotationskroppen är uppbyggd av ett antal skivor som har ett hål i mitten.

Varje skiva har en yttre radie som är $x$ (från linjen $y=x$) och en inre radie (dvs hålets radie) som är $\frac{4}{x}$ (från kurvan $y=\frac{4}{x}$).

Det betyder att varje skivas area kan skrivas $A=\pi x^2-\pi (\frac{4}{x})^2=\pi (x^2-(\frac{4}{x})^2)$.

Är du med på det? Detta är viktigt att förstå.

Varje skiva har en tjocklek som är $dx$ och bidraget från alla dessa skivor summeras i form av integralen av $\pi (x^2-(\frac{4}{x})^2) dx$ från $x=2$ till $x=4$.

Det är förklaringen till att du fick en negativ volym, du hade alltså kastat om yttre och inre radie på skivorna.

Detta visar hur viktigt det är att rita en figur och göra sig en bild av hur området som roterar ser ut och därmed vilka gränser och vilken geometri som gäller för rotationskroppen.

le chat skrev:

Jag förstår inte riktigt på vilket sätt det skulle bildas ett hål när det skuggade området roterar kring x-axeln.  Jag förstår däremot varför det finns olika radie men inte varför det uppstår en yttre och en inre.

Jag förstår inte vad dina markeringar inne i det avgränsade området betecknar.

Eftersom området roterar kring x-axeln så ser rotationskroppen ungefär ut så här i genomskärning (skuggat område). 

Exempel på punkter som finns i "hålet" är (2, 1), (3, 1), (4, -1/2) o.s v.

Ser du nu att rotationskroppen har en mjukt kurvad urgröpning (ett hål) längs med x-axeln?

Hålets största radie är 2 l.e. (vid x = 2) och hålet smalnar sedan av ner till minsta radien 1 l.e. (vid x = 4).

==================

Hängde du med på resonemanget kring primitiva funktioner och logaritmer?

Förstår du varför en primitiv funktion till $\frac{16}{x^2}$ inte innehåller några logaritmfunktioner?

Yngve skrev:

Exempel på punkter som finns i "hålet" är (2, 1), (3, 1), (4, -1/2) o.s v.

Ser du nu att rotationskroppen har en mjukt kurvad urgröpning (ett hål) längs med x-axeln?

Hålets största radie är 2 l.e. (vid x = 2) och hålet smalnar sedan av ner till minsta radien 1 l.e. (vid x = 4).

==================

Hängde du med på resonemanget kring primitiva funktioner och logaritmer?

Förstår du varför en primitiv funktion till $\frac{16}{x^2}$ inte innehåller några logaritmfunktioner?

 Jaha, så det uppstår alltså ett hål när det skuggade området roterar x-axeln eftersom det uppstår skivor med radie och dessa ingår inte i det skuggade området. Vilket innebär att om man vill beräkna volymen av det skuggade området så måste man alltså  använda ${\mathrm{\pi x}}^2- \mathrm{\pi }\frac{16}{{\mathrm{x}}^2}$  dvs formeln för yttre radie- inre radie?

Skulle detta resonemang kunna vara överfunktion-underfunktion fast för volymberäkningar?

---

Vad gäller logaritmer så förstår  jag din förklaring men nu undrar jag vad derivatan och integralen av ${\ln }^{2}x$ blir. Jag tänker att om ln(x)*ln(x)  ska deriveras och förenklas så  kommer man ju att få $\frac{1}{x}·\frac{1}{x}= \frac{1}{x^2}$ men nu vet vi ju att integralen av $\frac{1}{x^2}$ inte är ln(x)*ln(x) så vad blir då dess derivata? Eller ska man derivera med kedjeregeln för om man gör det kommer man ju fram till      $$\begin{gathered} y= (\ln x{)}^2 \\ y\text{'}= 2(\ln x) * \frac{1}{x } \end{gathered}$$.

En annan fråga när integralen av då y= 1/kx och y=k/x inte blir logaritmfunktioner, hur ska man veta att om det är en potensfunktion eller  derivatan av en logaritmfunktion som man undersöker?

le chat skrev:

 Jaha, så det uppstår alltså ett hål när det skuggade området roterar x-axeln eftersom det uppstår skivor med radie och dessa ingår inte i det skuggade området. Vilket innebär att om man vill beräkna volymen av det skuggade området så måste man alltså  använda ${\mathrm{\pi x}}^2- \mathrm{\pi }\frac{16}{{\mathrm{x}}^2}$  dvs formeln för yttre radie- inre radie?

Skulle detta resonemang kunna vara överfunktion-underfunktion fast för volymberäkningar?

Ja den formeln stämmer. Vi kan säga att "yttre/inre radie" vid skivmetoden för volymberäkning motsvarar "övre/undre funktion" vid areaberäkning.

Men det är farligt att försöka direkt applicera en standardformel vid volymberäkningar av rotationskroppar.

Det är absolut nödvändigt att förstå hur området ser ut, hur det roterar och hur rotationskroppen som uppstår ser ut för att kunna bedöma vilken metod som är lämplig och hur integranden ska se ut, vilken integrationsriktning som är lämplig och vilka integrationsgränser som gäller.

---

Vad gäller logaritmer så förstår  jag din förklaring men nu undrar jag vad derivatan och integralen av ${\ln }^{2}x$ blir. Jag tänker att om ln(x)*ln(x)  ska deriveras och förenklas så  kommer man ju att få $\frac{1}{x}·\frac{1}{x}= \frac{1}{x^2}$ men nu vet vi ju att integralen av $\frac{1}{x^2}$ inte är ln(x)*ln(x) så vad blir då dess derivata? Eller ska man derivera med kedjeregeln för om man gör det kommer man ju fram till      $$\begin{gathered} y= (\ln x{)}^2 \\ y\text{'}= 2(\ln x) * \frac{1}{x } \end{gathered}$$.

En annan fråga när integralen av då y= 1/kx och y=k/x inte blir logaritmfunktioner, hur ska man veta att om det är en potensfunktion eller  derivatan av en logaritmfunktion som man undersöker?

Derivatan av $(ln(x))^2$ är lika med $2\frac{ln(x)}{x}$ och ingenting annat.

För att komma fram till det kan du antingen använda kedjeregeln som du har gjort eller så kan du använda produktregeln.

Eftersom $(ln(x))^2=ln(x)\cdot ln(x)$ så blr derivatan enligt produktregeln $ln(x)\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x}\cdot ln(x)=2\frac{ln(x)}{x}$.

---------

Jag har inte sagt att den primitiva funktionen till $\frac{1}{x}$ inte är en logaritmfunktion.

Jag har sagt att den primitiva funktionen till $\frac{1}{x^2}$ inte är en logaritmfunktion.

Jag förtydligar:

• Derivatan av $ln(x)$ är $\frac{1}{x}$
• En primitiv funktion till $\frac{1}{x}$ är därför $ln(x)$
• Derivatan av $\frac{1}{x}$ är $-\frac{1}{x^2}$
• En primitiv funktion till $-\frac{1}{x^2}$ är därför $\frac{1}{x}$