Volymen av en kub + problemlösning

Hej! jag har i uppgift att lösa följande fråga,  "En rätblocksformad låda har en kvadratisk bottenyta. Summan av längd, bredd och höjd är 108cm. Beräkna lådans maximala volym."

Jag tror att jag har löst uppgiften rätt, men jag har en känsla av att svaret inte riktigt stämmer, det känns som att volymen är för stor för den kuben. Tror ni att jag har tänkt rätt i min uträkning?

Det första man bör göra när man vill räkna ut hur stor volym ett rätblock har, är att identifiera kanterna som utgör rätblockets längd och bredd. Längden tillsammans med bredden bildar figurens rektangelformade basyta. I nästa steg multipliceras basytans area, basarean, med rätblockets höjd. Produkten av de faktorerna blir rätblockets volym.

Basarea = längd ⋅ bredd

Om summan av längden, bredden och höjden är 108cm, behöver vi först ta reda på respektive längd. Vi kan göra om sambandet mellan basarea, längd, och bredd till en funktion: V = L HB. I och med att basytan är kvadratisk kan man dra slutsatsen att L = B, och då kan vi göra en omskrivning av figuren till: V = $L^2$ $·$H. Vi har ännu inte en färdig ekvation, för att få det använder vi oss av det faktum att summan av längd, bredd samt höjd är 108cm:

L + B + H = 108 cm =    2L + H = 108 cm.

Vi löser ut H:

2L - 2L + H = 108 - 2L

H = 108 - 2L

Vi substituerar in det i funktionen:

V = $L^2$(108 - 2L)

V = 108$L^2$- 2$L^3$

Nu har vi en funktion bestående av endast en variabel. Vi behöver nu derivera funktionen för att finna funktionens högsta värde:

STEG 1 = FLYTTA NER EXPONENTEN N OCH MULTIPLICERA MED TALET

V = 108$L^2$- 2$L^3$

V’ = 108$L^{2-1}$$·$2  - 2$L^{3-1}$$·$3

STEG 2 = SUBTRAHERA EXPONENTEN MED -1

V’ = 216$L^1$- 6$L^2$

STEG 3 = FÖRFINA

216L -  6$L^2$

Nu faktoriserar vi ut L och sätter det till 0 för att kunna lösa ekvationen:

V’= L(216 - 6L) = 0

$L_1$=0,   $L_2$=36       (löst med nollproduktsmetoden)

Detta innebär att funktionens högsta värde är när L = 0 eller när L = 36. Vi bortser från funktionens första lösning x = 0, då detta inte är logiskt i sammanhanget eftersom att rätblockets längd inte kan vara 0. Man får den maximala volymen när längden är 36cm. Vi sätter in L = 36 i den ursprungliga funktionen för att se vad detta blir. Vi kan även konstatera att rätblocket i själva verket är en kub. Då summan av L + B = 72. Tar vi 108 - 72 får vi 36cm, vilket blir kubens bredd. Alla sidor är lika långa. Volym blir:

V = $L^2$(108 - 2L)

V(36) = ${36}^2$(108 -72)

V(36) = 46 656cm3