Volymberäkning två kroppar flervariabelanalys

Uppgift: " Beräkna volymen av den begränsade kropp K som begränsas av paraboloiden $z = x^{2} + y^{2}$ , och planet 3x+2y+z=2". Korrekt svar: $\frac{441}{32} π$ .

Min lösningsstrategi:

1. Hitta skärningspunkterna för att lösa ut D: projektionen på x-y planet. Vilket ger oss projektionen: ${(x + \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{21}{4}$ . Dvs, en cirkel med radie $\sqrt{\frac{21}{4}}$ och

mittpunkt (-3/2, -1).

Steg 2:

Löser ut båda z is båda ekvationerna, byter till polära koordinater där $x = r \cos (θ) - \frac{3}{2} o c h y = r \sin (θ) - 1 . D ä r 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq r \leq \sqrt{\frac{21}{4}}$ och integrerar.

Bokens lösningsförslag:

Visa spoiler

Som ni ser får de ut samma projektion och första integral, men de väljer att kvadratkomplettera den första integralen innan de integrerar. Jag väljer istället att byta till polära koordinater och lägger in värdena. Båda borde väl funka? Vad kan jag ha gjort fel?

Du har flyttat på x och y så r^2 är inte x2+y2 längre. Men tror bara det är konstanten du får ut där som spelar roll så borde gå lätt att laga.

Micimacko skrev:
Du har flyttat på x och y så r^2 är inte x2+y2 längre. Men tror bara det är konstanten du får ut där som spelar roll så borde gå lätt att laga.

Du menar att jag gjort fel i att skriva om $- (x^{2} + y^{2}) s o m - r^{2} ?$ Pga x=rcos -3/2 och y=rsin - 1?

Micimacko skrev:
Ja

ok, vad får jag om jag lägger in dem då? blir det ${(r \cos θ - \frac{3}{2})}^{2} = r^{2} \cos^{2} θ + 2 r \cos θ * \frac{3}{2} + \frac{9}{4} f ö r x d e l e n ?$

jag får alltså

hur kan jag förenkla detta? kan jag göra något med 3rcos +2rsin?

Testa att bara integrera dem som de är map vinkeln. Alltid trevligt med hela perioder ;P

Micimacko skrev:
Testa att bara integrera dem som de är map vinkeln. Alltid trevligt med hela perioder ;P

ett helvetes räknande senare......och jag fick rätt svar. tack! :D

Svara

Visa senaste svar