Volymberäkning med integraler
Hej, har kört fast och skulle behöva hjälp med den här uppgiften;
*Kurvan y = x2 + 2, linjerna x = 1 och x = 4 samt x-axeln begränsar ett område. Beräkna volymen av det område som uppstår vid rotation kring x-axeln.
Har du ritat en figur så du har geometrin klart för dig?
Jag antar att du vill använda skivmetoden. Hur ser en skiva ut? Vad har den för radie, area, tjocklek?
Vilken är den undre och den övre integrationsgränsen?
Ja figuren är ritad. Den nedre integrationsgränsen är väl 1 och den övre 4?
Nollprocentmattegeni skrev :Ja figuren är ritad. Den nedre integrationsgränsen är väl 1 och den övre 4?
Det är lättare för oss att hjälpa till på rätt nivå om du beskriver hur långt du har kommit.
Jag har tidigare tagit fram nedanstående enkla "checklista" för arbetsgången vid rotationsvolymer.
Kan du beskriva hur du har tänkt och vad du har kommit fram till enligt dessa punkter?
Generellt avseende att integrera fram rotationsvolymer, oavsett om det gäller rotation kring x- eller kring y-axeln:
1. Rita figur, förstå vad de frågar efter.
2. Bestäm områdets gränser.
3. Välj integrationsmetod (skalmetoden/skivmetoden).
4. Finn ett uttryck för volymselementet dV.
5. Bestäm integrationsgränserna (från punkt 3).
6. Integrera.
7. Kontrollera/rimlighetsbedöm svaret.
8. Belöna dig själv för ett väl utfört arbete.
Ok, tack för bra tips! Försöker mig på att använda desamma nu...
1. Figur ritad för hand, och om jag förstått uppgiften rätt så frågar de efter volymen av det område som "uppstår" när rotationskroppen roterar kring x-axeln.
2. Områdets gränser är x=1 och x=4
3. Väljer skivmetoden som integrationsmetod
4. Förstår inte frågan helt..?
5. Kanske är helt ute o cyklar men är inte det x=1 och x=4 som är integrationsgränserna??
6. V= 4int1*3,14*y^2dx=3,14*4int1y^2dx= 3,14*4int1(x^2+2)^2dx= här tar det stopp.. vad blir uttrycket y^2 upphöjt till 2?? (Är inte så bra på o skriva matematiska uträkningar på datorn men går kanske o läsa/förstå hjälpligt iaf...)
Nollprocentmattegeni skrev :Ok, tack för bra tips! Försöker mig på att använda desamma nu...
1. Figur ritad för hand, och om jag förstått uppgiften rätt så frågar de efter volymen av det område som "uppstår" när rotationskroppen roterar kring x-axeln.
Ja. Bra.
2. Områdets gränser är x=1 och x=4
Nja. Områdets gränser är linjerna x = 1, x = 4, y = 0 och kurvan y = x^2 + 2. Självklart i detta fallet, men inte alltid annars.
3. Väljer skivmetoden som integrationsmetod
Bra
4. Förstår inte frågan helt..?
Skivans area är pi*r^2 = pi*y^2 = pi*(x^2 + 2)^2. Skivans tjocklek är dx. Volymselementet är alltså pi*(x^2 + 2)^2*dx
5. Kanske är helt ute o cyklar men är inte det x=1 och x=4 som är integrationsgränserna??
Jo. Du cyklar inte.
6. V= 4int1*3,14*y^2dx=3,14*4int1y^2dx= 3,14*4int1(x^2+2)^2dx= här tar det stopp.. vad blir uttrycket y^2 upphöjt till 2?? (Är inte så bra på o skriva matematiska uträkningar på datorn men går kanske o läsa/förstå hjälpligt iaf...)
Det ser rätt ut. Du kan utveckla kvadraten (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4 innan du integrerar.
Ok, så fortsättning på volymberäkningen borde se ut såhär;
V=4int1*3,14*y^2dx=3,14*4int1y^2dx= 3,14*4int1(x^2+2)^2dx= 3,14*4int1(x^4+4x^2+4)dx= 3,14*(x^5/5+4x^3/3)4int1= 3,14*(4^5/5+4*5^3/3) - (1^5/5+4*1^3/3)= 830,872 v.e.
Nollprocentmattegeni skrev :Ok, så fortsättning på volymberäkningen borde se ut såhär;
V=4int1*3,14*y^2dx=3,14*4int1y^2dx= 3,14*4int1(x^2+2)^2dx= 3,14*4int1(x^4+4x^2+4)dx= 3,14*(x^5/5+4x^3/3)4int1= 3,14*(4^5/5+4*5^3/3) - (1^5/5+4*1^3/3)= 830,872 v.e.
Lite svårt att tolka det du skriver men jag ser att du har missat en sak.
Du har tagit fram primitiv funktion till x^4-termen och till 4x^2-termen, men inte till konstantternen 4.
Ok, ja lite svårt att skriva "matematiskt" med vanliga tangentbordet...
Har jag tolkat formelsamlingen rätt om jag kommer fram till att den primitiva funktionen till 4 blir 4x+C?
Nollprocentmattegeni skrev :Ok, ja lite svårt att skriva "matematiskt" med vanliga tangentbordet...
Har jag tolkat formelsamlingen rätt om jag kommer fram till att den primitiva funktionen till 4 blir 4x+C?
Ja det stämmer. Och du bör alltid kontrollera dina primitiva funktioner genom att derivera dem och kontrollera att du då får tillbaka din ursprungsfunktion.
Exempel från ditt problem:
Funktionen f(x) = x^4 + 4x^2 + 4
Du kommer fram till att den primitiva funktionen F(x) = (1/5)*x^5 + (4/3)*x^3 + 4*x + C, men du är osäker på om det är rätt.
Då kontrollerar du detta genom att derivera F(x). Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller nämligen att F'(x) = f(x):
F'(x) = (1/5)*5*x^4 + (4/3)*3*x^2 + 4 + 0 = x^4 + 4x^2 + 4, vilket är lika med f(x).
Alltså är F(x) en primitiv funktion till f(x).
