Rotationskroppens volym

Det område som begränsas av kurvan $y = \sqrt{x}$ , linjen $y = x$ och linjen $y = 2$ får rotera kring linjen .

Beräkna rotationskroppens volym.

Det svartmarkerade området ska rotera runt den lila linjen. På grund av att det är i delkapitlet "Volymberäkning med cylindriska skal" så gissar jag på att jag ska använda formeln $V = \int_{a}^{b} 2 πxy d x$ .

Men jag har aldrig haft något som roterar runt en x-axel. Och inte heller när det är en axel som inte är "bunden" till origo. Vet inte riktigt hur jag börjar.

Rita tvärsnitt. Två exempel från en annan uppgift:

Du behöver summera två integraler (en mellan 1-2, och en mellan 2-4).

Jag har försökt ett tag nu, men jag fattar verkligen inte. Ska jag använda $y = \int_{a}^{b} 2 πxy d x$ ?

skalmetoden funkar bra i det här fallet

se bilden nedan

det röda fältet indikerar ett av många skal som den roterande kroppen består av

kan du uttrycka skalets bredd sfa y^? kika annars i spoliern.

Visa spoiler

Skalet är en cylinder med höjd (dvs bredd i x-led) för ett visst y-värde = x-

\sqrt{x}

,
bredden kan uttryckas som funktion av y som y-y²

Skalets radie, hur vill du uttrycka den?

Visa spoiler

skalets radie är 1+y, och dess tjocklek är dy

Skalets volym :

Visa spoiler

skalets volym är därför 2*pi*(1+y)*(y-y²)dy

rotationskroppen blir då

Visa spoiler

2 π \int_{1}^{2} (1 + y) (y - y^{2}) d y

Nu tror jag att jag förstår. Men en snabb fråga bara, för att i facit står det y²-y. För det blir väl $\sqrt{x} - x$ för att $y = \sqrt{x}$ är mer till höger än y=x?

Jo, där gjorde jag fel, y²- y ska det vara!

Svara

Visa senaste svar