Volymberäkning, flervariabelanalys

Uppgift: "Beräkna volymen av den kropp som ges av olikheterna $x^{2} + y^{2} \leq 4 x o c h |z| \leq x^{2} + y^{2}$ ." Svar: 48pi.

Jag började med att skriva om ekvation 1 som $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0 > > {(x - 2)}^{2} - 2^{2} + y^{2} = 0 > > {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ . Det vill säga en cirkulär tub med mittpunkt i (2,0) och radie 2 som sträcker ut sig oändligt i z.

Ekvation 2 är en paraboloid i +z och -z. Så det ser ut såhär:

Nu måste jag hitta skärningsområdet som projiceras på xy-planet vilket ofta görs genom att sätta z1=z1 och sedan får man ut t.ex (x^2+y^2)=4 vilket är en cirkel. Men hur ska jag göra här då z inte finns i ekvation 1? Och hur blir den första integranden?

Byt till cylinderkoorindater. Hur ser olikheterna ut då?

Visa spoiler

$0<r<4\cos(\theta)$ , vilket också innebär att $-\frac\pi 2<\theta<\frac \pi 2$

$|z|<r^2\,\iff\, -r^2<z<r^2$

Svara