Volymberäkning (Matematik/Matte 5)

Hej, kan du förklara steg för steg hur du tänker? Annars förstår jag inte.

Någon annat som kan förklara?

Jag förutsätter att du förstår följande:

Man kan beräkna arean mellan två kurvor f(x) (överst) och g(x) (underst) på följande sätt:

Dela in området mellan kurvorna i smala vertikala "strimlor" med höjd h(x) = f(x) - g(x).
Om strimlorna har bredden dx så är arean för varje strimla lika med h(x)*dx (dvs höjden gånger bredden).
Vi får totala arean genom att summera areabidraget från alla dessa strimlor.
Om vi låter dx gå mot 0 så kommer antalet strimlor att gå mot oändligheten och summan blir då en integral. "Integralen av h(x) dx från x = a till x = b".

---------------------------

På samma sätt kan man beräkna volymen av en kropp på följande sätt:

Dela in kroppen i tunna skivor, var och en med area A(y).
Om skivorna har tjockleken dy så är volymen för varje skiva lika med A(y)*dy (dvs arean gånger tjockleken).
Vi får totala volymen genom att summera volymsbidraget från alla dessa skivor.
Om vi låter dy gå mot 0 så kommer antalet skivor att gå mot oändligheten och summan blir då en integral. "Integralen av A(y) dy från y = a till y = b"

Detta kallas för skivmetoden.

--------------------

Det knepiga bruka ofta vara att förstå geometrin.

Hur ser begränsningsytorna ut?

Vilken integrationsriktning ska man välja?

Hur ser skivorna ut?

Hur kan man beskriva skivornas area på en matematisk form?

Vi tittar på din a-uppgift.

Skivorna ligger vinkelrätt mot y-axeln och är kvadratiska till formen.

Varje skivas area kan alltså skrivas som $b^2$ , där $b$ är skivans sidlängd.

I bilden ser vi att sidlängden $b$ beror på hur långt från x-axeln skivan ligger.

Jag har i bilden nedan markerat att halva sidlängden är $x$ , dvs sidlängden $b=2x$ .

Eftersom $b=2x$ så är varje skivas area $A=b^2=(2x)^2=4x^2$ .

Eftersom vi även vet att sambandet mellan $x$ och $y$ lyder $y=x^2$ så kan vi skriva uttrycket för skivans area som en funktion av $y$ : $A(y)=4y$ .

Om varje skiva nu är $dy$ tjock så blir varje skivas volym $4y dy$ .

Nu har vi allt vi behöver:

Kroppens undre gräns $y=0$

Kroppens övre gräns $y=4$

Uttryck för skivans volym $4y dy$

Vi är redo att integrera fram totala volymen:

$V = \int_{0}^{4} 4 y d y$

--------------------------------------

Jag hoppas att det blev lite klarare nu?

Yorkshire skrev :
Någon annat som kan förklara?

Yorkshire, det står i Pluggakutens regler att man skall vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. Det citerade är en typisk bump. /moderator.

Yngve: tack så mycket för att du kollade tråden jag höll på att tappa hoppet men dina genialiska förklaringen motiverade mig.Jag förstår nu ganska mycket, tack till dig! Jag undrar följande:

Hur ser man att man ska skriva arean som en funktion av y? Jag hänger inte riktigt med på hur man kommer fram till detta (eller hur man ser att de efterfrågar det).

Och det här med dy tjockleken, hur ser man det? Jag tror att all förvirrande ligger i hur de har ritat ut figuren och fått det att se ut som ett 3D problem, man blir ju lite vilse när man kollar på alla linjer dragna över kvadraten och den "stora kvadraten" bakom liksom.

Och hur ser man kroppens gränser? Ser inte det framför mig, bilden är ju riktigt förvirrande må jag säga.

Smaragdalena: Jag ber om ursäkt, men i mitt desperata försök att förstå detta tänkte jag att om man lyfter upp tråden så kanske någon ändå kikar in. Nu vet jag att man inte får göra detta, och jag försäkrar dig att jag inte kommer bumpa min tråd på det viset nå mera.

Hej Yorkshire. Det är svårt att åskådliggöra 3-dimensionella kroppar på ett platt papper.

Jag håller med om att figurerna i boken är lite otydliga och förvirrande.

Jag skulle nog föredra att se det hela i genomskärning, alltså helt från sidan, som i min skakiga bild nedan (sitter på en buss).

Och sedan tänka sig att kroppen har en utbredning även utanför papperets xy-plan.

Jag har ritat en lila skiva sedd från sidan, med en tjocklek dy och en sidlängd 2x.