volymberäkning

Kan du visa den skiss du har gjort, där rotationsaxeln och området som roterar visas?

jag behöver veta om svaret är rätt

Runt x = -1 och runt x-axeln är inte alls samma sak.

ja exakt därför behöver jag hjälp?

Rita hur du tror att det ska se ut.

Börja med att rita en bild på hur kroppen ser ut på ett ungefär, 

Utan bild är det oftast väldigt svårt att komma fram till rätt svar.

och hur ser kroppen som bildas ut?

förstår inte vad du menar. 

Vid rotationen bildas en kropp enligt uppgiften, kan du beskriva eller skissa hur den ser ut?

ja det är det där området i första kvadranten mellan linje grön och blå

ja, det är området som roterar, hur ser den volym som bildas ut?

förlåt men jag är så stressad att jag inte förstår vad du frågar. kan du snälla bara hjälpa mig  

Jag försöker hjälpa dig, genom att få dig att försöka förstå hur rotationskroppen ser ut. Utan en bild på rotationskroppen gör man oftast fel.

I det här fallet blir rotationskroppen en ring, där den massiva delen har tvärsnittsarea enligt figuren i första kvadranten. Din röda linje är rotationscentrum.

Nu när vi vet det, kan vi välja metod att lösa uppgiften på, i den här uppgiften skulle jag välja skalmetoden och integrera i x-led

Nu kan vi börja skriva integraler, ditt förslag i första inlägget har felet att du roterar runt x-axeln istället för runt x = -1

Rotationskroppen ser ut något i den här stilen (i genomskärning).

Har jag ställt upp det rätt nu? 

Du är på väg, men nu roterar du runt y-axeln.

Jag hoppas Yngve, som är en stjärna på rotationskroppar, vill fortsätta förklara i den här tråden. Jag måste dra mig tillbaka för ikväll...🥱

Vi tittar på ett cylindriskt skal  på avstånd $r$ från rotationsaxeln, där $r$ går från 1 till 2.

Sambandet mellan radien $r$ och x-koordinaten är $r=x+1$, dvs $x=r-1$.

Ett sådant skal har

• radien $r$
• omkretsen $2\pi r$
• höjden $x-x^3$, dvs $(r-1)-(r-1)^3$, dvs $r-1-(r^3-3r^2+3r-1)$, dvs $4r+3r^2-r^3$
• tjockleken $\operatorname dr$

Varje sådant skal har alltså en volym som är $dV=2\pi r\cdot (4r+3r^2-r^3)\operatorname dr$

Det innersta skalet har radien 1 och det yttersta skalet har radien 2.

Tillägg: 12 apr 2023 08:23

Jag var nog lite trött igår och skrev fel avseende höjden.

Den ska vara $x-x^3=(r-1)-(r-1)^3=(r-1)-(r^3-3r^2+3r-1)=r-1-r^3+3r^2-3r+1=3r^2-r^3-2r$

okej så vad är formeln för volymen och ska jag då integrera från 1 till 2 för vilken ekvation då?

asså förlåt för att jag är trög men eftersom jag är stressad kan jag inte tänka klart. 

Integrera dV från r = 1 till r = 2.

Men det viktiga är att du förstår varför det blir så, inte att du får rätt svar på just den här uppgiften.

jag förstår. tack så mycket för din hjälp

en fråga till, hur fick du fram att du ska integrera från 1 till 2?

lisa3495 skrev:

en fråga till, hur fick du fram att du ska integrera från 1 till 2?

För att avståndet från rotationsaxeln är 1 till 2.

Skulle du kunna anvönda dig av yngves bild och dra streck vart du menar

Det gröna sträcket börjar där avståndet från rotationsaxeln är 1 och slutar där avståndet är 2.

lisa3495 skrev:

Skulle du kunna anvönda dig av yngves bild och dra streck vart du menar

Som OILOL skrev. Det kan illustreras så här:

Om du vill använda x- eller y-koordinater istället för r när du integrerar så kan du flytta hela området ett steg åt höger och istället låta det rotera kring y-axeln.

• Fundera lite på varför det fungerar.

Att flytta hela området ett steg åt höger innebär attt du överallt byter ut x mot x-1.

• Fundera lite på varför det är så.

Då blir ekvationen för den räta linjen y = x-1 och för tredjegradskurvan y = (x-1)³.

• Övertyga dig själv om att det blir så, t ex. med hjälp av ett digitalt ritverktyg:

Vi tittar nu på ett cylindriskt skal runt y-axeln.

Ett sådant skal har

• radien $x$
• omkretsen $2\pi x$
• höjden $(x-1)-(x-1)^3$, dvs $x-1-(x^3-3x^2+3x-1)$, dvs $3x^2-x^3-2x$ (jag ser nu att jag skrev fel i svar #19)
• tjockleken $dx$

Varje sådant skal har alltså en volym som är $dV=2\pi x\cdot (3x^2-x^3-2x)\operatorname dx$

Det innersta skalet ligger vid $x=1$ och det yttersta skalet ligger vid $x=2$.

För att få den totala volymen ska vi alltså integrera dV från $x=1$ till $x=2$.

Vi ser att resultatet blir detsamma som när vi använde $r$ som integrationsvariabel.

=======

Extrauppgift: Se om du även kan använda skivmetoden för volymberäkningen.

Det finns ytterligare ett sätt att tänka för att komma fram till samma svar,

om vi i din figur nedan ritar in ett skal så får vi nånting som ser ut som bilden under

Höjden i skalet är x-x³

och skalets radie är 1+x

dess tjocklek är dx

Rotationskroppensvolym ges då av 

$V = 2\pi {\int }_0^1(1+x)(x-x^3)dx$

Ture skrev:

$V = 2\pi {\int }_0^1(1+x)(x-x^3)dx$

Detta upplever jag som det enklaste sättet. Det är ju bara att man ska kunna komma på det också.