volymberäkning

I första uträkningen har du ibland med a, ibland inte.

Den andra integralen stämmer inte alls.

Förklara hur du har tänkt.

Du bör rita en skiss för varje rotation.

Använd dem i din förklaring.

Jag har förmodligen tänkt i cirklar (ser även en del slarvfel). Det kanske är bäst att börja om helt? Har du något tips på hur jag ska börja? 

Ja.

Börja med att rita.

Jag skulle aldrig ge mig på att lösa en uppgift med volymberäkning av rotationskroppar utan att rita.

Det kommer dels att ge dig förståelse för hur rotationskroppennser ut, dels ge stöd åt att bestämma integrand, integrationsgränser och eventuella genvägar.

Jag har fått fram detta

Men eftersom a inte är känt så är det ju bara ungefärligt. Kurvan är y=x² 

Bra! Rita nu två skisser, en hur kroppen ser ut om det orangefärgade området roterar runt x-axeln, en där det roteras runt y-axeln.

Rotation runt x-axeln

Rotation runt y-axeln

Visste inte riktigt hur jag skulle visa att området roterar runt, men det blir ju som en urholkad cylinder.

Jättebra.

Nästa steg är att välja metod för volymberäkning.

Vid rotationen kring y-axeln kan du enkelt beräkna volymen av cylindern och från det subtrahera volymen av "urholkningen", alternativt att direkt beräkna volymen av det färgade området med hjälp av skivor som har ett hål i mitten. Oavsett vilket så ligger skivorna travade i y-axelns riktning så därför blir integrationsriktningen i y-led. (Det finns även en annan metod kallad skalmetoden som fungerar här.)

 Vid rotationen kring x-axeln så är skivorna travade i x-axelns riktning och integrationen sker därför i x-led.

Markera i dina figurer en skivas radie. Fundera på hur denna radie kan uttryckas med hjälp av den information då fått given i uppgiften.

Visa dina ritningar och tankegångar.

Jag tänker att jag kan beräkna volymen med formeln _a∫^b πy² dx

Där a=0, b=2, h=4 och y=ax²

₀∫² π(ax²)² dx =

= ₀∫² π(a²x⁴) dx

Och för att beräkna rotation runt y-axeln beräknar jag πr²h - _c∫^d  π(x)² dy

Där x=y/a (stämmer det?), c=0, r=2, h=4 och d=4 (kan jag skriva h istället, tänker att h och d är samma värde?)

Då blir det

π∙(2)²∙4 - ₀∫⁴ π(y/a)² dy=

=16π- ₀∫⁴ π(y²/a²) dy

Fleetstreet skrev:

<bild>

Jag tänker att jag kan beräkna volymen med formeln _a∫^b πy² dx

Där a=0, b=2, h=4 och y=ax²

₀∫² π(ax²)² dx =

= ₀∫² π(a²x⁴) dx

Det stämmer, men h = 4 används ingenstans här, så den uppgiften förvirrar bara.

EDIT: h = 4 stämmer inte eftersom höjden beror på a enligt y = ax²

<bild>

Och för att beräkna rotation runt y-axeln beräknar jag πr²h - _c∫^d  π(x)² dy

Det stämmer.

Där x=y/a (stämmer det?),

Nej, du har att $y = ax^2$. Då blir x = $\pm\sqrt{y/a}$

c=0, r=2, h=4 och d=4 (kan jag skriva h istället, tänker att h och d är samma värde?)

Ja det stämmer.

EDIT: h = 4 stämmer inte eftersom höjden beror på a enligt y = ax²

Då blir det

π∙(2)²∙4 - ₀∫⁴ π(y/a)² dy=

=16π- ₀∫⁴ π(y²/a²) dy

Nej, se ovan om att $x=\pm\sqrt{y/a}$

Vet inte hur h=4 kom med där haha.

Jag skrev om lite så b=0, c=2 och h=4 för att förhoppningsvis göra det tydligare 

Jag får rotationen kring x-axeln till

_b∫^c πy² dx =

=₀∫² π(ax²)² dx =

=₀∫² π(a²x⁴) dx = π[2a∙4x³]²₀=

=π((2a∙4(2)³)-(2a∙4(0)³)=

=π((2a∙32)=

=64π

Och sedan får jag rotation runt y-axeln till

πr²h - _b∫^hπ(x)² dy =

=π∙(2)²∙4 - ₀∫⁴π(√y/a)² dy =

=π∙4∙4 - ₀∫⁴π(y/a) dy =

=16π - ₀∫⁴π(y/a) dy = 16π - (π[y²/2a]⁴₀)=

=16π - (π( ((4)²/2a)-((0)²/2a))=

=16π - (π(16/2a))=

=16π - (π(8/a))=

=16π-(8π/a)

Fleetstreet skrev:

Jag får rotationen kring x-axeln till

_b∫^c πy² dx =

=₀∫² π(ax²)² dx =

=₀∫² π(a²x⁴) dx = π[2a∙4x³]²₀=

Det här steget stämmer inte. För x⁴ blandar du ihop primitiv funktion med derivata. Faktorn a² är en konstant så den ändras inte alls.

Och sedan får jag rotation runt y-axeln till

πr²h - _b∫^hπ(x)² dy =

=π∙(2)²∙4 - ₀∫⁴π(√y/a)² dy =

Det här stämmer inte heller. Det du kallar h (dvs  cylinderns höjd och den övre integrationsgränsen) beror på a eftersom y = ax². Jag missade att påpeka det tidigare.

Oj, det missade jag helt! Det ska endast vara x⁵/5. 

₀∫² π(a²x⁴) dx = π[x⁵/5]²₀=

=π((2⁵/5)-(0⁵/5))=

=π(32/5)=

=6,4π

Är höjden/den övre integrationsgränsen 4a som jag skrev först? Detta kom jag fram till genom att undersöka grafen i en grafräknare. Som jag tänker borde höjde/den övre integrationsgränsen då vara a∙r²

Finns det ett bättre sätt att hitta det (om detta nu stämmer dvs)? 

Då skulle jag få:

π∙4∙(4a) - ₀∫^4a π(y/a) dy =

=16πa - ₀∫^4a π(y/a) dy = 16πa - (π[y²/2a]⁴₀)=

=16πa - (π( ((4a)²/2a)-((0)²/2a))=

=16πa - (π(16a²/2a))=

=16πa - (π(8a))=

=16πa - 8πa=

=8πa

Volymen skiljer sig då med 5/4 a.e = 1.25 a.e

Fleetstreet skrev:

Oj, det missade jag helt! Det ska endast vara x⁵/5. 

₀∫² π(a²x⁴) dx = π[x⁵/5]²₀=

=π((2⁵/5)-(0⁵/5))=

=π(32/5)=

=6,4π

Kontrollera ovanstående uträkning en gång till.

Är höjden/den övre integrationsgränsen 4a som jag skrev först? Detta kom jag fram till genom att undersöka grafen i en grafräknare. Som jag tänker borde höjde/den övre integrationsgränsen då vara a∙r²

Finns det ett bättre sätt att hitta det (om detta nu stämmer dvs)? 

Ja. Höjden/övre integrationsgränsen är lika med y-koordinsten för skärningspukten mellan linjen x = 2 och parabeln y = ax², som du enkelt kan beräkna algebraiskt.

Då skulle jag få:

π∙4∙(4a) - ₀∫^4a π(y/a) dy =

=16πa - ₀∫^4a π(y/a) dy = 16πa - (π[y²/2a]⁴₀)=

=16πa - (π( ((4a)²/2a)-((0)²/2a))=

=16πa - (π(16a²/2a))=

=16πa - (π(8a))=

=16πa - 8πa=

=8πa

Det får jag med.

Volymen skiljer sig då med 5/4 a.e = 1.25 a.e

Nej det stämmer inte. Men du ska inte beräkna skillnaden, du ska ta reda på om det går att välja a så att den ena volymen är dubbelt så stor som den andra.

_b∫^c πy² dx =

=₀∫² π(ax²)² dx =

=₀∫² π(a²x⁴) dx = π[a²x ∙x⁵/5]²₀=

=π((a²(2)∙(2)⁵/5)-(a²(0)∙(0)⁵/5)=

=π(2a²∙32/5)=

=π(2a²∙6,4)=

=π(12,8a²)=

=64/5πa²

Såg att jag blandade ihop derivatan och primitiva funktionen igen hehe

Men det där känns som ett väldigt konstig ekvation, stämmer den?

Du bör alltid alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera den. Om du då får tillbaka ursprungsfunktionen var den rätt, annars inte.

Du skriver att a²x•x⁵/5 är en primitiv funktion till a²x⁴. Kontrollera om det stämmer.

Jag får det till a²x⁴.

x försvinner och sedan blir x⁵/5 till 5x⁴/5=x⁴

Nej det stämmer inte. 

Eftersom a²x•x⁵/5 = a²•x⁶/5 så blir derivatan a²•6x⁵/5, vilket inte är lika med a²x⁴.

Du behöver nog repetera produktregeln, dvs hur man deriverar en produkt av två funktioner.

Men vi går tillbaka till att hitta en primitiv funktion till a²x⁴.

Ett par frågor som förhoppningsvis leder dig rätt:

1. Vad är en primitiv funktion till x⁴?
2. Vad är en primitiv funktion till 2•x⁴, där 2 är en konstant?
3. Vad är en primitiv funktion till k•x⁴, där k är en konstant?
4. Vad är en primitiv funktion till a²•x⁴, där a² är en konstant?

men y=a∙x²  och jag sätter in det i _b∫^c πy² dx får jag _b∫^c π(a²x⁴)dx då ska jag hitta den primitiva funktionen till a²x⁴ som blir a²x∙x⁵/5 eftersom a² är en konstant så multipliceras den med x och för att kunna få x⁴ igen vid derivering så måste det vara x⁵/5 eftersom det då blir 5x⁴/5=x⁴. 

Nej det stämmer inte.

Svara på frågorna 1-4 i mitt förra svar.

Primitiv funktion till x⁴ är x⁵/5+c

Primitiv funktion till 2∙x⁴ är 2x∙x⁵/5

Primitiv funktion till k∙x⁴ är kx∙x⁵/5

Om jag multiplicerar a² med x och hittar den primitiva funktionen till (a²x⁴) istället för (a²)(x⁴) som jag gjorde tidigare får jag a²x)⁵/5

Så då blir ju 

Primitiv funktion till 2∙x⁴ är 2x⁵/5

Primitiv funktion till k∙x⁴ är kx⁵/5

Jag tror jag är så van att se kxⁿ istället för k∙xⁿ eller kⁿxⁿ att jag blev förvirrad haha

Stämmer det nu?

_b∫^c πy² dx =

=₀∫² π(ax²)² dx =

=₀∫² π(a²x⁴) dx = π[a²x⁵/5]²₀=

=π((a²(2)⁵/5)-(a²(0)⁵/5)=

=π(a²∙32/5)=

=π(a²∙6,4)=

=π(6,4a²)=

=6.4πa²

Fleetstreet skrev:

Primitiv funktion till x⁴ är x⁵/5+c

Det stämner

Primitiv funktion till 2∙x⁴ är 2x∙x⁵/5

Det stämmer inte

Primitiv funktion till k∙x⁴ är kx∙x⁵/5

Det stämmer inte

Om jag multiplicerar a² med x och hittar den primitiva funktionen till (a²x⁴) istället för (a²)(x⁴) som jag gjorde tidigare får jag a²x)⁵/5

Det stämmer. Det är ingen skillnad på a²x⁴ och (a²)(x⁴)

Så då blir ju 

Primitiv funktion till 2∙x⁴ är 2x⁵/5

Primitiv funktion till k∙x⁴ är kx⁵/5

Jag tror jag är så van att se kxⁿ istället för k∙xⁿ eller kⁿxⁿ att jag blev förvirrad haha

Stämmer det nu?

_b∫^c πy² dx =

=₀∫² π(ax²)² dx =

=₀∫² π(a²x⁴) dx = π[a²x⁵/5]²₀=

=π((a²(2)⁵/5)-(a²(0)⁵/5)=

=π(a²∙32/5)=

=π(a²∙6,4)=

=π(6,4a²)=

=6.4πa²

Ja nu stämmer det. 

Jag listade ut det. Tack så otroligt mycket för hjälpen! :)