Volym och derivata

Jag är också lite osäker om jag ska vara ärlig. På differnetialform har vi, om jag inte tänker helt knasigt:

$\displaystyle\mathrm{d}V=g\left(x\right)\left(h\left(x\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)h'\left(x\right)\right)\mathrm{d}x+f\left(x\right)h\left(x\right)g'\left(x\right)\mathrm{d}x$

Så under några implicita antaganden om $V$ så borde vi väl ha:

$\displaystyle \Delta V=g\left(x\right)\left(h\left(x\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)h'\left(x\right)\right)\Delta x+f\left(x\right)h\left(x\right)g'\left(x\right)\Delta x$

Vad står det i facit?

Det kan hända att de på a)-uppgiften vill ha "hela" uttrycket, utan att man tar bort "små" termer. Sedan ska man låta $\Delta x\to 0$ i b)-uppgiften för att bilda derivatan.

För area-uttrycket $A(x)=f(x)\cdot g(x)$ hade vi på motsvarande sätt som i a)-uppgiften fått

$\Delta A=\left(f(x)+\Delta f(x)\right)\cdot\left(g(x)+\Delta g(x)\right)-f(x)\cdot g(x)$

Som kan förenklas.