Volym kring y-axeln.. (M4 Liber, uppgift 3321)

Hej,
Jag skummade tillbaka till en uppgift i M4 matematikboken från Liber, uppgift 3321.

Ett område begränsas av kurvan y=1/x, den positiva x-axeln samt x =1 och x = 2. Bestäm volymen av rotationskroppen som uppstår när detta område roterar kring y-axeln.

Bifogar en enkel skiss.

Jag känner mig väldigt osäker på vilket område som exakt roterar kring y-axeln. Kring x-axeln roterar det rödmarkerade området eftersom det begränsas kring de linjerna. Men så vitt jag förstått så begränsas ju inte rotation kring y-axeln av x-axlarnas värden, såvida man inte ska gå efter vad funktionsvärdet är? Alltså y = 1 och y = 0,5?

Har potenshöjt x = 1/y till x^2 = 1/y^2 (flyttat över y till x position innan förstås) och integrerat till

-1/x

Men använder jag integrationsgränserna 1 och 0,5 får jag värdet (-1/1) - (-1/0,5) = 1 * pi = pi v.e.

Vilket inte överensstämmer med facit.

Integrationsgräns 0,5 och 0 ger (-1/0,5) - (-1/0) = -2 * pi

Integrationsgräns 1 och 0 ger (-1/1) - (-1/0) = -1*pi

Slår jag ihop 1 och 0,5 gränserna samt 0,5 och 0 gränsvärdena så får jag det heller inte att stämma.

Jag förmodar att det är enklare en det ser ut men skulle uppskatta lite vägledning, är säkert inte den enda uppgift där sådana här kurvor är involverade på samma sätt.

Det är lite svårt att hänga med i ditt resonemang. Skriv ut dina funktioner, och skriv ut hur dina integraler ser ut.

Är du med på hur själva rotationskroppen ser ut? Den påminner om ett bildäck (bara själva däcket, utan fälg).

Den nedre delen är väl bara att räkna ut som differensen mellan två cylindrar?

$V = π \cdot {(r_{2})}^{2} \cdot h - π \cdot {(r_{1})}^{2} \cdot h$

Den övre volymen löses lämpligen medelst en integral med skiv- eller skalmetoden. Vilken tror du själv passar bäst här?

Här ges exempel för de olika metoderna: Skiv- resp. skalmetoden

Jag måste erkänna men jag är helt lost här just nu.

För mig är det inte "att bara". Jag förstår helt enkelt inte hur jag ska inringa området när den ska rotera kring y-axeln. Jag vet att man använder integrationsgränser i y-led när en sådan volymkropp ska beräknas. Det enda jag har lärt mig så vitt jag vet är skivmetoden. Om skalmetoden diskuterats i kursboken har jag inget minne av...

Om jag refererar till bilden så är det väl den röda ytan jag markerat som ska rotera kring y-axeln. Jag förmodar att den ska begränsas in mellan x=1 och x=2 på samma sätt, eller är jag ute och cyklar ändå?

Ser nu att skalmetoden är ingenting jag sett nämnas i M4. Skummar igenom kapitlen kring rotation men den enda som nämns är skivmetoden, även för y-axeln. Det enda skillnaden mot x-axeln i det fallet är att man gör x ensamt och potenshöjer tills x blir $x^{2}$ , t.ex. om y = $\sqrt{x}$

$y^{2} = (\sqrt{x})^{2} \to y^{2} = x y^{4} = x^{2}$

Sen sätter man in integranden $y^{4}$ i uttrycket

$π \int_{c}^{d} y^{4} d y = π {[\frac{y^{5}}{5}]}^{d}_{c}$

Där d och c motsvarar integrationsgränser i y-led

Mycket tack för tips om skalmetoden. Nu blev det mycket lättare att lösa...

mirou skrev :
Mycket tack för tips om skalmetoden. Nu blev det mycket lättare att lösa...

Hej mirou!

Kul att du gillade och fick koll på skalmetoden! Ja, rätt ofta blir det stor skillnad i svårighetsgrad beroende på vilken man väljer av de metoderna. Lyckas man behärska båda och välja rätt metod vid rätt uppgift så underlättar det väldigt mycket!

Jo jag märkte vilken skillnad det blev. Tcker det är märkligt att den inte exemplifieras i boken alls. Nog för att det såg väldigt simpelt ut att bara använda samma metod som för x-axeln men just den där uppgiften krånglade till det. Skulle bra gärna sett författarnas lösning till uppgiften...

Svara

Visa senaste svar