Volym i mha trippelintegral

Hej, har problem med följande uppgift:

Det här var mitt försök som lösning:

Ignorera (1) dvs trippelintegralen av 1 utan jakobian. Min tanke är att trippel integralen över 1 i xyz rummet ger volymen av området, det jag gjorde sedan var att gå över till rymdpolära koordinater med tillhörande jakobian r^2sin(täta) dvs ekvation (2), men jag får fel, och det jag tror är fel är området dvs gränserna i integralen (ignorera slarvfelet i den yttersta integralen det ska stå pi/4 som undre gräns och pi/2 som övre, det är så jag beräknade det som). Om inte det så förstår jag inte riktigt varför jag har gjort fel?

All hjälp uppskattas!

Oj då, jag tror jag ser felet, jag antog mitt område som den övre kalotten, jag borde låte täta gå från pi/4 till pi:

$\int_{π / 4}^{π} \int_{- π / 4}^{3 π / 4} \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2} \sin θ d r d φ d θ$ jag fick det till $\frac{1}{3} \pi \left(2 \sqrt{2}+2\right)$
men detta är fel enligt facit jag borde få $\frac{1}{3} \pi \left(2 \sqrt{2}+3\right)$ vart har det gått snett?

Svara