Volym cylinder

Linnimaus skrev:

Omkring en cylinder med diametern 10cm viras en folie med bredden 250mm och tjockleken 0,0001m. När folien är på cylindern har cylindern en diameter på 750mm. Hur många m² folie finns på cylindern? 

Min lärare har satt volymen för cylindern = volymen för folien

Hur? Varför? Jag förstår inte hur hon kommer fram till det? 

 Jag förstår inte vad det är som händer här riktigt. 

Vi har en cylinder med diametern 10 cm och sedan så viras en folie runt den cylindern, därefter så har diametern på cylindern minskats ner till 7,5cm ? Hur är det möjligt? 

EDIT: Det enda som jag kan tänka mig är att foliet som viras runt cylindern inte kommer hela vägen runt.

Korra skrev:

Linnimaus skrev:

Omkring en cylinder med diametern 10cm viras en folie med bredden 250mm och tjockleken 0,0001m. När folien är på cylindern har cylindern en diameter på 750mm. Hur många m² folie finns på cylindern? 

Min lärare har satt volymen för cylindern = volymen för folien

Hur? Varför? Jag förstår inte hur hon kommer fram till det? 

 Jag förstår inte vad det är som händer här riktigt. 

Vi har en cylinder med diametern 10 cm och sedan så viras en folie runt den cylindern, därefter så har diametern på cylindern minskats ner till 7,5cm ? Hur är det möjligt? 

EDIT: Det enda som jag kan tänka mig är att foliet som viras runt cylindern inte kommer hela vägen runt.

 Inte minskats. 750mm är 75 cm.

750mm=75cm

Laguna skrev:

 Inte minskats. 750mm är 75 cm.

Jag skulle strunta i det där "volymen för cylindern = volymen för folien" (som jag inte heller förstår) och lösa uppgiften ändå.

Linnimaus skrev:

 

Min lärare har satt volymen för cylindern = volymen för folien

Hur? Varför? Jag förstår inte hur hon kommer fram till det? 

 Nej, det är ju inte riktigt rätt. Vad säger du själv?

Alltså volymen för cylindern utan folie är ungefär 1963495 mm^3
Volymen för folien är 16250 mm^3
(enligt mina beräkningar) 
Jaha och sen då??

volym med folie på är 110 446 616 mm^3

Linnimaus skrev:

Omkring en cylinder med diametern 10cm viras en folie med bredden 250mm och tjockleken 0,0001m. När folien är på cylindern har cylindern en diameter på 750mm. Hur många m² folie finns på cylindern? 

Min lärare har satt volymen för cylindern = volymen för folien

Hur? Varför? Jag förstår inte hur hon kommer fram till det? 

 Okej, jag gör ett nytt försök. 

Rätblocket som jag har ritat i slutet är foliet som är ristat runt cylindern. 
Detta rätblock består av mindre rätblock som fullbordar den fullkomliga foliemängden. (Likt att väckla ut en annanasskiva till ett rätblock och sedan dela upp det rätblock i mindre rätblock.)

Varje "skiva" (mini rätblock) har arean $0,25 \cdot0,75 \cdot \pi (m^{2})$

Vi behöver nu ta reda på antal "skivor"(minirätblock) som får plats i det stora rätblocket. 
Vi dividerar därför på följande vis: $\frac{0,325}{0,0001}=3250$ st mindre rätblock. Det betyder att vi då har den totala arean(ytan) $(0,25\cdot0,75\cdot\pi)3250 \approx 1914,41 (m^{2})$

Jag vet inte om det är korrekt men det känns högst orimligt... :D 
$1914 m^{2}$ folie är inte lite. 

Någon som har lust att kontrollera ? :) 

Som alltid - börja med att rita en bild. Om man ser folie-rullen från kortsidan har vi en cirkel med radien 375 mm med ett hål i mitten som har radien 50 mm.

Den stora cylindern har volymen $V=0,250\cdot\pi\cdot0,375^2\approx0,110m^3$

Hålet har volymen $H=0,250\cdot\pi\cdot0,050^2=0,002m^3$

Foliens volym = cylinderns volym - hålets volym.

Foliens volym är lika stor som ett rätblock med sidorna 0,250 m, 0,0001 mm respektive $l$.

Foliens area är $0,25\cdot l=0,108\cdot10000=1080m^2$

Rimlighetebedömning: Ett rätblock med sidorna 0,25m, 0,75 m och 0,75 m har en volym på 0,141 kubikmeter, så det verkar i alla fall vara rätt tiopotens.

Korra skrev:

 Okej, jag gör ett nytt försök. 


Rätblocket som jag har ritat i slutet är foliet som är ristat runt cylindern. 
Detta rätblock består av mindre rätblock som fullbordar den fullkomliga foliemängden. (Likt att väckla ut en annanasskiva till ett rätblock och sedan dela upp det rätblock i mindre rätblock.)

Varje "skiva" (mini rätblock) har arean $0,25 \cdot0,75 \cdot \pi (m^{2})$

Vi behöver nu ta reda på antal "skivor"(minirätblock) som får plats i det stora rätblocket. 
Vi dividerar därför på följande vis: $\frac{0,325}{0,0001}=3250$ st mindre rätblock. Det betyder att vi då har den totala arean(ytan) $(0,25\cdot0,75\cdot\pi)3250 \approx 1914,41 (m^{2})$

Jag vet inte om det är korrekt men det känns högst orimligt... :D 
$1914 m^{2}$ folie är inte lite. 

Någon som har lust att kontrollera ? :) 

 Efter att jag har klargjort några saker i DENNA tråd, så har jag därmed insett att min lösning i denna tråd är felaktig. _
Jag ska nu göra ett försök att korrigiera mina felsteg. 

Fel 1. Rätblocket som vi får i slutet har ej längden $0,75\pi$


Vi får då alltså:
$(0,25\cdot0,425\pi)3250\approx1084,83 (m^{2})$


Hehe, Smaragdalena fick det till 1080. Jag vet inte vilket av våra svar som är mest korrekt. 

EDIT: Smaragdalena avrundar, därför så fattas ca $4m^{2}$ i hennes slutgilltiga svar. 
Ni ser hur viktigt det är att inte avrunda mitt i en uträkning! $4m^{2}$ folie är en yta som täcker hela fönstret i mitt rum!(normal storlek på fönstret)

Eftersom det bara är en siffras noggrannhet i folietjockleken är våra svar likvärdiga. Jag anser att 4 värdesiffror i mellanresultaten är tillräckligt, i alla fall när jag skriver av siffrorna. Hade jag bara använt räknaren, hade jag behållit alla siffror.

Hej Linnimaus!

När folien viras ett helt varv kring cylindern ökar cylinderns diameter med $2 \cdot 10^{-4}$ meter.

När man virar $n$ stycken hela varv folie kring cylindern är cylinderns diameter

    $D(n)=0.1 + 2n \cdot 10^{-4}$ meter.

När cylinderns diameter är $D(n) = 0.75$ meter har man virat $n$ stycken hela varv av folien, det vill säga

    $0.1+2n \cdot 10^{-4} = 0.75 \iff 2n = \frac{0.75-0.1}{10^{-4}}$

Det innersta varvet har längden 31,4 cm. Det yttersta varvet har längden 236 cm. Det är en stor skillnad.

Jag spinner vidare på Albikis lösning. $n=3250$.

Låt bredden: $b=0,25$ m. Den totala arean för folien blir då:

$A=\sum_{i=1}^{3250}b\cdot O(i) = b\pi\cdot\sum_{i=1}^{3250}(0,1+2\cdot i\cdot 10^{-4})=$

$0,25\pi\cdot(0,1\cdot 3250+2\cdot 10^{-4}\cdot \sum_{i=1}^{3250}i)=$

$255,254+\pi\cdot 5\cdot 10^{-5}\cdot \frac{3250\cdot 3251}{2}=$

$255,254+829,832=1085,086\approx 1100m^2$.

Där alltså följande formel använts: $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$

Svar: Ca. 1100 $m^2$.

Det första varvet motsvarar en bit folie vars area är $0.25 \cdot \pi \cdot D(1)$ kvadratmeter.

Det andra varvet motsvarar en bit folie vars area är $0.25 \cdot \pi \cdot D(2)$ kvadratmeter.

Det n:te varvet motsvarar en bit folie vars area är $0.25 \cdot \pi \cdot D(n)$ kvadratmeter.

Tillsammans motsvarar de $n$ stycken varven en bit folie vars area är

    $0.25 \cdot \pi \cdot (D(1) + D(2) + \cdots + D(n))$ kvadratmeter.

Med formen $D(n) = 0.1+2nt$ där $t =10^{-4}$ får man den sammanlagda foliearean

    $0.25\pi \cdot (0.1 n + 2t+4t+6t+\cdots 2nt) = 0.25\pi(0.1n + tn(n+1)) = 0.25\pi n(0.1+t(n+1))$ kvadratmeter.

Antalet varv beräknas till

    $2n = \frac{0.75-0.1}{10^{-4}} \iff n = 3250$ stycken

och den sammanlagda foliearean blir

    $0.25\pi \cdot 3250 (0.1+3251\cdot 10^{-4}) = 0.25 \pi \cdot 3250 \cdot 0.4251 =345.39 \pi$ kvadratmeter.

 Beräknar man med närmevärde till $\pi$ får man att den sammanlagda foliearean är litet mer än 1085 kvadratmeter (mer specifikt 1085.086 kvadratmeter).

Albiki skrev:

 Beräknar man med närmevärde till $\pi$ får man att den sammanlagda foliearean är litet mer än 1085 kvadratmeter (mer specifikt 1085.086 kvadratmeter).

 Snyggt, det var precis vad jag fick också. Great minds...

Men dina beräkningar var lite enklare. 👏

Var roligt ändå att få med den klassiska Gauss-summan! ☺️

tomast80 skrev:

Jag spinner vidare på Albikis lösning. $n=3250$.

Låt bredden: $b=0,25$ m. Den totala arean för folien blir då:

$A=\sum_{i=1}^{3250}b\cdot O(i) = b\pi\cdot\sum_{i=1}^{3250}(0,1+2\cdot i\cdot 10^{-4})=$

$0,25\pi\cdot(0,1\cdot 3250+2\cdot 10^{-4}\cdot \sum_{i=1}^{3250}i)=$

$255,254+\pi\cdot 5\cdot 10^{-5}\cdot \frac{3250\cdot 3251}{2}=$

$255,254+829,832=1085,086\approx 1100m^2$.

Där alltså följande formel använts: $\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$

Svar: Ca. 1100 $m^2$.

 Jag hade också den tanken i huvudet att göra på samma sätt som du gjorde men jag kunde inte få till det! Har aldrig använt summa tecknet på det sättet tidigare och är ovan, men jag lyckades på ett annat sätt. 

Bra jobbat. 

Om man är intresserad av att ta fram det exakta svaret måste man även ta hänsyn till att folien inte passar perfekt runt cylindern och därmed varken bildar perfekta cirklar i tvärsnitt eller perfekta cylindervolymer. Därför är metoderna som presenterats tyvärr bara ungefärliga. Inte för att jag anser att det är rimligt att försöka räkna med detta i denna uppgift, men det kan vara intressant att veta.

AlvinB skrev:

Om man är intresserad av att ta fram det exakta svaret måste man även ta hänsyn till att folien inte passar perfekt runt cylindern och därmed varken bildar perfekta cirklar i tvärsnitt eller perfekta cylindervolymer. Därför är metoderna som presenterats tyvärr bara ungefärliga. Inte för att jag anser att det är rimligt att försöka räkna med detta i denna uppgift, men det kan vara intressant att veta.

 Bra poäng! Det är en orsak till att jag vill svara mer approximativt på detta, maximalt med två gällande siffror.

Nej, inte alls. Har du räknat på hur mycket fel det blir?

Ytterradie minus innerradie är över tre decimeter, alltså tretusen folielager.

Det bästa är väl om AlvinB kan presentera en exakt beräkning för att räta ut de frågetecknen som finns angående lösningarnas noggrannhet?

Det kan jag göra åt dig.

$V_{tom}=\mathrm{\pi }·(0.05\mathrm{m}{)}^2·0.25\mathrm{m}$

$V_{full}=\mathrm{\pi }·(0.375\mathrm{m}{)}^2·0.25\mathrm{m}$

$V_{folie}=\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }·\left(\right(0.0375\mathrm{m}{)}^2-(0.05\mathrm{m}{)}^2)·0.25\mathrm{m} =\hspace{0.17em}0.108495{\mathrm{m}}^3$

Volymen av "springan" längst in på rullen är 0.25m * 0.0001m *  L / 2, där L är den sträcka som folien "lutar" in mot den inre cylindern. Det kan rimligen inte vara mer än fyra folietjocklekar - jämför din figur.

0.25m * 0.0001m * 0.0004m / 2 = 0.000000005 m^3

Kan vi nu vara överens om att strunta i den volymen?

Bubo skrev:

Det kan jag göra åt dig.

$V_{tom}=\mathrm{\pi }·(0.05\mathrm{m}{)}^2·0.25\mathrm{m}$

$V_{full}=\mathrm{\pi }·(0.375\mathrm{m}{)}^2·0.25\mathrm{m}$

$V_{folie}=\hspace{0.17em}\mathrm{\pi }·\left(\right(0.0375\mathrm{m}{)}^2-(0.05\mathrm{m}{)}^2)·0.25\mathrm{m} =\hspace{0.17em}0.108495{\mathrm{m}}^3$

Volymen av "springan" längst in på rullen är 0.25m * 0.0001m *  L / 2, där L är den sträcka som folien "lutar" in mot den inre cylindern. Det kan rimligen inte vara mer än fyra folietjocklekar - jämför din figur.

0.25m * 0.0001m * 0.0004m / 2 = 0.000000005 m^3

Kan vi nu vara överens om att strunta i den volymen?

 Jag kanske uttryckte mig slarvigt. Jag försökte inte hävda att det skulle göra någon faktisk skillnad i verkliga mätningar, jag menade bara på att resultatet inte var exakt. För mig uppkom det nämligen ganska intressanta matematiska tankegångar när jag försökte klura ut en metod för att bestäma resultatet exakt, men det säger väl nästan sig självt att med en tjocklek på $0,1\ \text{mm}$ och tretusen varv är denna lilla skillnad ganska obetydlig.

För övrigt, din uppskattning om längden på $L$ är tyvärr lite felaktig. Enligt mina beräkningar får jag den längden till $L\approx0,0031639\ \text{m}$, men detta är väl kanske mitt eget fel då illustrationen jag gjorde inte var skalenlig (detta avstånd beror mycket på proportionerna mellan tjocklek på folien och cirkelns storlek).

Jag håller med dig: för faktiska beräkningar är det nästan dumt att räkna med denna skillnad, men jag tyckte i alla fall det var roligt att ta fram hur man räknar exakt.

Då är vi helt överens.

Jag tror inte att vi menar samma sak med L, men det kan väl kvitta.

Om vi antar att plastfilmen är perfekt packad och okomprimerad är volymen plast en bevarad storhet vid utrullning.

Ett samband som relaterar mängden plast på rullen med mängden utrullad plastfilm (kontinuitetssamband) är

$\displaystyle \frac{\pi h (D^2-d^2)}{4}=At$

Där t är plastfilmens tjocklek, D är den stora diametern, d är den lilla diametern och h är höjden på plastfilmen.

Den maximala yta plastfilmen kan täcka är alltså

$\displaystyle A_{max}=\frac{\pi h(D^2-d^2)}{4t}\approx 1084.83\mathrm{m^2}$

Detta sätter en övre gräns på hur stor area vi kan täcka. Om man på något sätt genomför en teoretisk "exakt" beräkning som ger en större area har man trollat fram en större mängd plast än vad som kunde finnas på rullen från början, dvs man har våldfört sig på kontinuitetsvillkoret.

#metoo

Här kommer min exakta beräkning:

Det svåra i problemet är att ta reda på "topparean" av folien. Jag utgår ifrån att folien är rullad ett helt antal varv runt folien och att de angivna diametrarna är på en del av cylindern som är helt rund och inte blir ojämn p.g.a. av foliekanten närmast cylindern:

För att ta fram den exakta folievolymen behöver vi alltså ta reda på den gråa arean. Merparten av cirkeln kommer att vara en vanlig cirkel, men biten utanpå foliekanten kommer att bilda ett parallelltrapets (rosamarkerade arean).

Dessa fyra värden är allt vi behöver ta reda på. Parallelltrapetsets area ges av den klassiska formeln:

$\dfrac{h(a+b)}{2}$

och cirkelsegmentets area ges av:

$\pi(0,375^2-0,05^2)\cdot$ $\dfrac{2\pi-v}{2\pi}$

Det gäller alltså att hitta var folien "lämnar" cylinderns yta. Detta kommer att vara i punkten då lutningen på linjesegmentet är samma som cirkelns lutning. Med detta kan man sätta upp villkor i ett koordinatsystem och efter en sjuhelsikes massa koordinatgeometri kommer man fram till att $a$ har längden:

$a=\sqrt{\dfrac{1001}{100000000}}\ \text{m}$

och $b$

$b=\sqrt{\dfrac{7501}{100000000}}\ \text{m}$

$h$ kan man enkelt se kommer vara den sammanlagda tjockleken av alla folielagren, vilket är detsamma som skillnaden i radie mellan cirklarna, d.v.s. $h=0,325\ \text{m}$

Nu kvarstår enbart vinkeln $v$. Vi kan se en triangel i cirkeln som hjälper oss att ta fram $v$.

Cosinussatsen ger att

$v=\arccos(\dfrac{500}{501})$

Detta är allt vi behöver för topparean. Uttrycket blir:

$\dfrac{h(a+b)}{2}+$ $\pi(0,375^2-0,05^2)\cdot$ $\dfrac{2\pi-v}{2\pi}=$

$=\dfrac{0,325(\sqrt{\frac{1001}{100000000}}+\sqrt{\frac{7501}{100000000}})}{2}+$ $\pi(0,375^2-0,05^2)\cdot$ $\dfrac{2\pi-\arccos(\frac{500}{501})}{2\pi}\ \text{m}^2$

För att få fram folievolymen är det bara att multiplicera med bredden $0,25\ \text{m}$. Sedan ges kvadratmeter folie genom att dela med $0,0001\ \text{m}$. Uttrycket för foliearean blir således:

$\dfrac{0,25}{0,0001}(\dfrac{0,325(\sqrt{\frac{1001}{100000000}}+\sqrt{\frac{7501}{100000000}})}{2}+$ $\pi(0,375^2-0,05^2)\cdot$ $\dfrac{2\pi-\arccos(\frac{500}{501})}{2\pi})\ \text{m}^2\color{transparent}\dfrac{\sqrt{\frac{1}{1}}}{1}$

Det ungefärliga värdet blir då $\approx 1078,72\ \text{m}^2$.

Är det inga slarvfel i detta ska jag banne mig köpa mig en trisslott.