Volym beräkning med integraler

Om du ritar en figur så kan du ur den utläsa vad integrationsgränserna c och d är.

Rita in y = x^2 - a och y = 2.

Dessa två kurvor bildar ett slutet område och det är det området som roterar kring y-axekn.

Den undre integrationsgränsen c är det minsta y-värdet i området och integrationsgrönsen d är det största y-värdet i området.

Det är viktigt att du förstår varför formeln du använder verkligen ger den efterfrågade volymen.

Hur ska jag rita y=x^2 -a och y=2, hur gör man? 

Att rita linjen y = 2 är lätt (hoppas jag).

Rita några olika varianter med olika (enkla) värden på a och se hur integrationsgränserna påverkas av a-värdet!

Jag satte in talen i formeln och fick $v=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^2(\mathrm{y}+\mathrm{a}) \mathrm{dy}$ , det känns som att a bokstaven inte ska vara där? 

Möller skrev :

Jag satte in talen i formeln och fick $v=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^2(\mathrm{y}+\mathrm{a}) \mathrm{dy}$ , det känns som att a bokstaven inte ska vara där? 

Jodå, det är nästan rätt.

Det är bara undre integrationsgränsen som inte stämmer.

Vid vilket y-värde skär kurvan $y = x^2 - a$ y-axeln? 

Så här ser figuren jag ritade ut , den skär y- värde vid 1/4 -a 

Möller skrev :

Så här ser figuren jag ritade ut , den skär y- värde vid 1/4 -a 

Hur har du kommit fram till det?

y = x^2 - a

Då x = 0 så är y = 0^2 - a = -a

Då x = 1 så är y = 1^2 - a = 1 - a

Då x = -1 så är y = (-1)^2 - a = 1 - a

Och så vidare.

För det första så är den formel du angivit fel, för rotation kring y-axeln ska det vara

     $V_y=2\mathrm{\pi }{\int }_c^{d}x·f\left(x\right)dx.$

Betrakta följande bild. Här har jag ritat parabeln för $a=2$.

     Värdet $a$ har inget annat syfte än att parallell-förflytta den röda kurvan i y-led. Tecknet framför och värdet på $a$ anger vart någonstans på y-axeln den röda kurvan skär, t.ex. om a = 2 så skär den y-axeln i -2. Eftersom $a>0$ så kommer du alltid att få en del av rotationsvolymen under x-axeln, den kommer dvs vara negativ. Du måste därmed hitta integrationsgränserna för två integraler. Du kommer därmed behöva 3 integrationsgränser. Den första är trivial och är 0, den andra är skärningen mellan x-axeln och den röda grafen, den tredje är skärningen mellan den röda grafen och linjen $y=2$ (den gröna linjen).

1) Den positiva skärningen mellan kurvan och x-axeln: $y=0=x^2-a\iff \pm \sqrt{a},$ men vi använder bara det positivia värdet. Så den första integralen blir

     $V_1=-2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{a}}x·\left(x^2-a\right)dx=-2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{a}}{x}^3-axdx$.

Detta är volymen som alstras när du roterar den delen som är under x-axeln, kring y-axeln. Observera att jag lade till ett minus tecken framför integralen eftersom värdet av integralen kommer bli negativt med tanke på att området befinner sig under x-axeln. Men volymer kan ju bara vara positiva.

2) Den positiva skärningen mellan kurvan och linjen  $y=2$: Det ger att $2=x^2-a\iff x=\pm \sqrt{a+2},$ även här använder vi enbart det positiva värdet. Integralen som genererar volymen mellan den gröna linjen och x-axeln är

     $V_2=2\mathrm{\pi }{\int }_{\sqrt{a}}^{\sqrt{a+2}}x·\left(x^2-a\right)dx=2\mathrm{\pi }{\int }_{\sqrt{a}}^{\sqrt{a+2}}\left(x^3-ax\right)dx.$

Summering av dessa volymer ger

     $V_1+V_2=-2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\sqrt{a}}{x}^3-axdx+2\mathrm{\pi }{\int }_{\sqrt{a}}^{\sqrt{a+2}}{x}^3-axdx=\frac{9\mathrm{\pi }}{2},$

Varur du kan lösa för $a$. Enligt mina beräkningar så ska du få $a=\sqrt{9\mathrm{\pi }+1}\approx 5.2225.$

Du har använt skalmetoden, Lirim.K., men Möller gör skivmetoden och det blir enklare.

Det är inget fel på den först föreslagna formeln.

Integranden (y+a) är större än eller lika med 0 i hela intervallet från y = -a till y = 2.

Integralens värde blir pi/2*(a + 2)^2, vilket ger att a= 1.

Skalmetoden kräver inte heller att integralen delas upp i två delar och den ger samma resultat men med krångligare integrand och krångligare integrationsgränser.

Tack så jätte mkt för hjälpen!!