Volym av rotationskropp

Den rotationskropp du vill volymberäkna är den som uppstår då det gula området under logaritmkurvan roterar ett varv runt y-axeln.

Det betyder att rotationskroppen kommer att ha ett hål i mitten med varierande radie (det som skapas av det blåa området i bilden nedan).

Det går, men är lite knepigt att få till ett uttryck för den volymen med en enda integral.

Det kan då vara lättare att först beräkna volymen av den cylinder som bildas då det gula området I din illustration roterar ett varv runt y-axeln och sedan från det subtrahera volymen av hålet.

Kommer du vidare då?

Okej, jag får det gula + blåa området till 23.21 v.e

Kommer dock inte på ett uttryck för de blåa områdets volym

Bra, men avrunda inte. Cylinderns volym är $V_c=\pi e^2$ v.e.

För att beräkna volymen av hålet kan du använda skivmetoden direkt.

Tänk dig hålet uppbyggt av ett väldigt stort antal cirkulära skivor staplade på varandra I y-led.

Den understa skivan har radien 1 och den översta skivan har radien e.

Sätt upp ett uttryck för hur varje skivas radie r beror av höjden y, dvs r(y).

Sätt upp ett uttryck för hur varje skivas area beror av höjden y, dvs A(y).

Varje skiva har en tjocklek $\Delta$ y och ger därmed ett tillskott till volymen som.är A(y)•$\Delta$ y.

Om du summerar alla dessa tillskott och låter $\Delta$ y gå mot 0 så får du integranden A(y) dy i en integral i y-led.

Kommer du vidare då?

Den här uppgiften skulle jag lösa med skivmetoden i ett steg - som om det vore en burk med ananasskivor med olika stort hål  mitten.

Yngve skrev:

Bra, men avrunda inte. Cylinderns volym är $V_c=\pi e^2$ v.e.

För att beräkna volymen av hålet kan du använda skivmetoden direkt.

Tänk dig hålet uppbyggt av ett väldigt stort antal cirkulära skivor staplade på varandra I y-led.

Den understa skivan har radien 1 och den översta skivan har radien e.

Sätt upp ett uttryck för hur varje skivas radie r beror av höjden y, dvs r(y).

Sätt upp ett uttryck för hur varje skivas area beror av höjden y, dvs A(y).

Varje skiva har en tjocklek $\Delta$ y och ger därmed ett tillskott till volymen som.är A(y)•$\Delta$ y.

Om du summerar alla dessa tillskott och låter $\Delta$ y gå mot 0 så får du integranden A(y) dy i en integral i y-led.

Kommer du vidare då?

Yes, tack