volym av rotationskropp

Har du provat att integrera med avseende på y?

y = –5/x, men du kan ju tänka att x = –5/y också.

Mogens skrev:

Har du provat att integrera med avseende på y?

y = –5/x, men du kan ju tänka att x = –5/y också.

det har jag inte gjort. men får jag inte samma resultat då? för då tänker jag att det blir f(y) = -5/x och att f(-1) = 5 och f(-2) = 2,5

Jag provade och ser inte hur man ska få svaret i facit. Om y = –2 så är –2,5  ≤ x ≤  2,5 och om y = –1 så är –5 ≤ x ≤ 5. Så volymen borde hursom vara större än en cylinder med radie 2,5 och höjd 1, som är c:a 20.

Antingen är det fel i facit, eller så har både du och jag tänkt fundamentalt fel någonstans. Min uträkning var slarvig och ska inte litas på men landade i 25pi/2.

Jag får samma resultat som Mogens.

Området som roteras runt y-axeln ser ut så här:

Med skivmetoden får vi tunna cirkulära skivor staplade på varandra i y-led.

Varje skiva har en radie $r(y)=-\frac{5}{y}$ och därmed en area $A(y)=\pi\frac{25}{y^2}$.

Eftersom tjockleken för varje skiva är $dy$ så blir volymtillskottet $A(y) dy$.

Integrationsgränserna är från $y=-2$ till $y=-1$ och den totala volymen blir då

$V=\int_{-2}^{-1}\pi\frac{25}{y^2}\operatorname dy$

$V=\pi\left[-\frac{25}{y}\right]_{-2}^{-1}=12,5\pi$ v.e.

Mogens skrev:

Jag provade och ser inte hur man ska få svaret i facit. Om y = –2 så är –2,5  ≤ x ≤  2,5 och om y = –1 så är –5 ≤ x ≤ 5. Så volymen borde hursom vara större än en cylinder med radie 2,5 och höjd 1, som är c:a 20.

Antingen är det fel i facit, eller så har både du och jag tänkt fundamentalt fel någonstans. Min uträkning var slarvig och ska inte litas på men landade i 25pi/2.

 jag har inget facit utan det var mer en beskrivning på hur jag tänkte eftersom jag inte vet hur jag ska räkna uppgiften överhuvudtaget

Aha, jag trodde rutan längst ner på ditt första inlägg var facit. ”Volymen är 3,456”. 

En sömnlös natt till ingen nytta, glad trettonhelg!

nuitlbd skrev:

 ... eftersom jag inte vet hur jag ska räkna uppgiften överhuvudtaget

OK, förstår du nu hur du kan använda skivmetoden?

Säg annars till så hjälper vi dig med mer detaljerad beskrivning.

Säg även till om du vill få grepp på hur du kan använda skalmetoden för att lösa uppgiften.

Mogens skrev:

Aha, jag trodde rutan längst ner på ditt första inlägg var facit. ”Volymen är 3,456”. 

En sömnlös natt till ingen nytta, glad trettonhelg!

haha jaha förlåt! det var bara en gissning från mig som inte förstod uppgiften. men tack så mycket och glad trettonghelg :)

Yngve skrev:

nuitlbd skrev:

 ... eftersom jag inte vet hur jag ska räkna uppgiften överhuvudtaget

OK, förstår du nu hur du kan använda skivmetoden?

Säg annars till så hjälper vi dig med mer detaljerad beskrivning.

Säg även till om du vill få grepp på hur du kan använda skalmetoden för att lösa uppgiften.

inte fullt ut. jag antar att du fick 25 för att radien höjs upp till 2, men förstår inte riktigt varför y höjs upp till två. integrationsgränserna är jag med på nu men i början trodde jag först att man skulle behöva hitta x. jag ska försöka lösa uppgiften nu men känns inte riktigt än som att jag skulle lyckas lösa en liknande uppgift helt själv

edit: förstod precis varför y höjs upp till två! kom på att hela funktionen var radien. men jag undrar nu, hur vet jag att den funktionen är radien? 

Yngve skrev:

nuitlbd skrev:

 ... eftersom jag inte vet hur jag ska räkna uppgiften överhuvudtaget

OK, förstår du nu hur du kan använda skivmetoden?

Säg annars till så hjälper vi dig med mer detaljerad beskrivning.

Säg även till om du vill få grepp på hur du kan använda skalmetoden för att lösa uppgiften.

okej så jag tror att jag förstår bättre nu efter att jag provat, fick i alla fall fram rätt svar. det enda jag är osäker på nu är som sagt hur man vet att funktionen är radien och halvt hur linjerna utgör övre och undre gränsen på integralen. men gränserna som är givna måste väl bli gränserna just för att figuren roterar kring y-axeln? och gör man annorlunda ifall figuren skulle rotera kring x-axeln?

Vanligt vid rotationskroppar är att man skivar dem. Skivornas radie bestäms av funktionen, så volymen av en skiva är R² pi* dx eller R² pi*dy där dx alt dy är skivans tjocklek (som är ”nästan noll” när man integrerar).

nuitlbd skrev:

... hur man vet att funktionen är radien och halvt hur linjerna utgör övre och undre gränsen på integralen.

Jag har ritat in en cirkulär skiva och dess radie:

Radien är alltså x-värdet vud höjden y.

Eftersom y = -5/x så är x = -5/y, därav att radien r(y) = -5/y.

Att radien har samma form som funktionen är bara en tillfällighet.

men gränserna som är givna måste väl bli gränserna just för att figuren roterar kring y-axeln?

Nej det är inte därför.

Hur integrationsgränserna blir beror helt och hållet på geometrin.

Det är oerhört viktigt att rita en skiss som tankestöd. Baserat på denna skiss går det sedan att ta fram både integrand och integrationsgränser.

och gör man annorlunda ifall figuren skulle rotera kring x-axeln?

Ja, om området skulle rotera runt x-axeln så skulle rotationskroppen ha ett hål i sig. Den skulle då se ut som ett rör med konstant innerdiameter och med varierande ytterdiameter.

För att få grepp om hur denna rotationskropp skulle se ut är det oerhört viktigt att rita en skiss. Baserat på denna skiss går det sedan att förstå hur volymen kan beräknas. Utan skiss går det inte, eller är åtminstone väldigt svårt och kraftigt felbenäget.

okej, tack för hjälpen alla. är inte med riktigt helt ännu utan tror att jag behöver göra ett par uppgifter eller så för att förstå bättre

Gär det och ställ massor av frågor här.