Volym av rotationskopp
Uppgift:
Området givet av och roteras kring x-axeln. Beräkna rotationskroppens
volym.
Del av lösning:
Låt .
.
Hur kommer man fram till detta? Jag vet att arean som bildas av linjen f(x) och x-axeln i det givna intervallet är , men varför får man volymen av rotationskroppen genom formeln ovan? Kanske har jag missat någon formel, för jag kan inte se hur man kommer fram till det.
Edit: Jag har försökt att jämföra med förhållandet mellan area och rotationsvolym av andra geometriska standardfigurer utan framgång.
Rita en figur.
När grafen till f(x) roteras kring x-axeln så bildas en rotationskropp. För att beräkna volymen av denna delar man in kroppen i tunna cirkulära skivor som alla har x-axeln som medelpunkt.
Dessa skivor har en radie r som beror av var på x-axeln skivan är. Vi har att r = r(x) = f(x).
Varje skiva har en area som är .
Varje skiva har en tjocklek som är dx.
Varje skiva ger alltså ett volymsbidrag som är .
Dessa delvolymer summeras (integreras) sedan från x = 1 till x = 2.
Det ger oss att