1 svar
52 visningar
Stoffer 135 – Fd. Medlem
Postad: 14 dec 2017 13:55 Redigerad: 14 dec 2017 13:58

Volym av rotationskopp

Uppgift:

Området givet av 0y1x2+x och 1x2 roteras kring x-axeln. Beräkna rotationskroppens
volym.

Del av lösning:

Låt f(x)=1x2+x.

V=12π·f(x)2 dx=π121x2+x dx=π121x(x+1) dx.

Hur kommer man fram till detta? Jag vet att arean som bildas av linjen f(x) och x-axeln i det givna intervallet är 12f(x) dx, men varför får man volymen av rotationskroppen genom formeln ovan? Kanske har jag missat någon formel, för jag kan inte se hur man kommer fram till det.

 

Edit: Jag har försökt att jämföra med förhållandet mellan area och rotationsvolym av andra geometriska standardfigurer utan framgång.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 14 dec 2017 14:02 Redigerad: 14 dec 2017 14:56

Rita en figur.

När grafen till f(x) roteras kring x-axeln så bildas en rotationskropp. För att beräkna volymen av denna delar man in kroppen i tunna cirkulära skivor som alla har x-axeln som medelpunkt.

Dessa skivor har en radie r som beror av var på x-axeln skivan är. Vi har att r = r(x) = f(x).

Varje skiva har en area som är πr2=π·(f(x))2 \pi r^2=\pi \cdot (f(x))^2 .

Varje skiva har en tjocklek som är dx.

Varje skiva ger alltså ett volymsbidrag som är  π·(f(x))2dx \pi \cdot (f(x))^2 dx .

Dessa delvolymer summeras (integreras) sedan från x = 1 till x = 2.

Det ger oss att V=12π·(f(x))2dx

Svara
Close